Thème : Populations animales — Suites géométrique et récurrente — Algorithme Python
Barème indicatif : 6 points
On étudie l'évolution de deux populations animales à partir de l'année 2025 (rang $n = 0$).
- Milieu A : population $u_n$ (en milliers), suite géométrique de premier terme $u_0 = 6$ et de raison $0{,}93$.
- Milieu B : population $v_n$ (en milliers), définie par $v_0 = 6$ et $v_{n+1} = f(v_n)$ où :
$$f(x) = -0{,}05\,x^2 + 1{,}1\,x.$$
Question 1. Valeur de $u_1$
$$u_1 = u_0 \times 0{,}93 = 6 \times 0{,}93 = \mathbf{5{,}58} \text{ milliers.}$$
Question 2. Expression explicite de $u_n$
La suite est géométrique de premier terme $u_0 = 6$ et de raison $0{,}93$ :
$$\boxed{u_n = 6 \times (0{,}93)^n.}$$
Question 3. Limite de $(u_n)$
Comme $|0{,}93| < 1$, on a $(0{,}93)^n \to 0$ quand $n \to +\infty$, donc :
$$\lim_{n \to +\infty} u_n = 0.$$
La population du milieu A s'éteint à long terme.
Question 1. Valeur de $v_1$
$$v_1 = f(v_0) = f(6) = -0{,}05 \times 36 + 1{,}1 \times 6 = -1{,}8 + 6{,}6 = \mathbf{4{,}8} \text{ milliers.}$$
Question 2. Monotonie de $f$ sur $[0\,;\,11]$
La fonction $f(x) = -0{,}05\,x^2 + 1{,}1\,x$ est un polynôme du second degré. Sa dérivée est :
$$f'(x) = -0{,}1\,x + 1{,}1.$$
Sur $[0\,;\,11]$ : $f'(x) = 0 \iff x = 11$. Pour $x \in [0\,;\,11[$, $f'(x) > 0$. Donc $f$ est croissante sur $[0\,;\,11]$.
Question 3. La suite $(v_n)$ est décroissante et minorée par 2
On montre par récurrence la propriété $\mathcal{P}(n)$ : $2 \leq v_{n+1} \leq v_n \leq 6$.
*Initialisation :* $v_0 = 6$, $v_1 = 4{,}8$. On vérifie $2 \leq 4{,}8 \leq 6 \leq 6$ $\checkmark$.
*Hérédité :* Supposons $2 \leq v_{n+1} \leq v_n \leq 6$.
- Décroissance : $f$ est croissante sur $[0\,;\,11] \supset [2\,;\,6]$ et $v_{n+1} \leq v_n$, donc :
$$v_{n+2} = f(v_{n+1}) \leq f(v_n) = v_{n+1}. \quad \checkmark$$
- Minoration : $v_{n+1} \geq 2$ et $f$ croissante, donc :
$$v_{n+2} = f(v_{n+1}) \geq f(2) = -0{,}05 \times 4 + 1{,}1 \times 2 = -0{,}2 + 2{,}2 = 2. \quad \checkmark$$
- Majoration : $v_{n+1} \leq 6$ et $f$ croissante, donc :
$$v_{n+2} = f(v_{n+1}) \leq f(6) = 4{,}8 \leq 6. \quad \checkmark$$
La propriété est héréditaire. La suite $(v_n)$ est décroissante et minorée par $2$.
Question 4. Convergence
Toute suite décroissante et minorée est convergente. La suite $(v_n)$ converge.
Question 5a. Équation satisfaite par la limite
Soit $\ell = \lim_{n \to +\infty} v_n$. Par continuité de $f$ et passage à la limite dans $v_{n+1} = f(v_n)$ :
$$\ell = f(\ell) \iff \ell = -0{,}05\,\ell^2 + 1{,}1\,\ell \iff 0 = -0{,}05\,\ell^2 + 0{,}1\,\ell \iff 0 = \ell(-0{,}05\,\ell + 0{,}1).$$
Les solutions sont $\ell = 0$ ou $\ell = 2$. Comme $v_n \geq 2$ pour tout $n$, on a nécessairement $\ell = 2$.
$$\boxed{\lim_{n \to +\infty} v_n = 2.}$$
Question 5b. Interprétation
La population du milieu B se stabilise à long terme autour de 2 milliers d'individus.
Question 1. Première année où $u_n < 3$
On résout $6 \times (0{,}93)^n < 3$ :
$$(0{,}93)^n < 0{,}5 \implies n\,\ln(0{,}93) < \ln(0{,}5) \implies n > \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}93)} = \frac{-0{,}6931}{-0{,}07257} \approx 9{,}55.$$
Donc le plus petit entier vérifiant cela est $n = 10$, ce qui correspond à l'année $2025 + 10 = \mathbf{2035}$.
Question 2. Première année où $v_n < 3$
On calcule les termes successifs de la suite $v_n$ :
| $n$ | $v_n$ (milliers) | |-----|-----------------| | 0 | 6{,}000 | | 1 | $f(6) = 4{,}800$ | | 2 | $f(4{,}8) = -0{,}05 \times 23{,}04 + 5{,}28 = -1{,}152 + 5{,}28 = 4{,}128$ | | 3 | $f(4{,}128) \approx -0{,}852 + 4{,}541 = 3{,}689$ | | 4 | $f(3{,}689) \approx -0{,}680 + 4{,}058 = 3{,}378$ | | 5 | $f(3{,}378) \approx -0{,}570 + 3{,}716 = 3{,}146$ | | 6 | $f(3{,}146) \approx -0{,}495 + 3{,}461 = \mathbf{2{,}966}$ |
Le premier rang pour lequel $v_n < 3$ est $n = 6$, soit l'année $2025 + 6 = \mathbf{2031}$.
Question 3. Comparaison des limites
$\lim u_n = 0$ et $\lim v_n = 2$. Puisque $u_n \to 0 < 2$ et $v_n \to 2$, à partir d'un certain rang $v_n > u_n$ : la population B finira par être supérieure à la population A.
Question 4. Programme Python — Première année où $v_n > u_n$
n = 0
u = 6
v = 6
while v <= u:
u = 0.93 * u
v = -0.05 * v**2 + 1.1 * v
n = n + 1
print(n)*Trace d'exécution :*
| $n$ | $u_n$ | $v_n$ | $v \leq u$ ? | |-----|--------|--------|-------------| | 1 | 5{,}58 | 4{,}80 | Oui | | 2 | 5{,}19 | 4{,}13 | Oui | | 3 | 4{,}83 | 3{,}69 | Oui | | 4 | 4{,}49 | 3{,}38 | Oui | | 5 | 4{,}17 | 3{,}15 | Oui | | 6 | 3{,}88 | 2{,}97 | Oui | | 7 | 3{,}61 | 2{,}82 | Oui | | 8 | 3{,}36 | 2{,}70 | Oui | | 9 | 3{,}12 | 2{,}61 | Oui | | 10 | 2{,}90 | 2{,}53 | Oui | | 11 | 2{,}70 | 2{,}47 | Oui | | 12 | 2{,}51 | 2{,}42 | Oui | | 13 | 2{,}33 | 2{,}37 | Oui | | 14 | 2{,}17 | 2{,}33 | Non |
Le programme affiche $n = 14$, soit l'année $2025 + 14 = \mathbf{2039}$.