Thème : Équation différentielle — Modélisation d'une population de bactéries (logistique)
Barème indicatif : 5 points
On modélise l'évolution d'une population de bactéries à l'aide de l'équation différentielle $(E_1)$ :
$$(E_1) : \quad y' + 0{,}48\,y = \frac{1}{250},$$
où $y(t)$ représente une quantité liée à la population au temps $t$ (exprimé en heures).
Question 1. Vérification que la fonction $h : t \mapsto \frac{1}{120}$ est solution particulière de $(E_1)$
On calcule $h'(t) = 0$ (fonction constante). Alors :
$$h'(t) + 0{,}48\,h(t) = 0 + 0{,}48 \times \frac{1}{120} = \frac{0{,}48}{120} = \frac{48}{12\,000} = \frac{1}{250}. \quad \checkmark$$
La fonction constante $h(t) = \dfrac{1}{120}$ est bien solution particulière de $(E_1)$.
Question 2. Solutions de l'équation homogène associée $y' + 0{,}48\,y = 0$
L'équation homogène est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants. Ses solutions sont les fonctions de la forme :
$$y = C\,e^{-0{,}48\,t}, \quad C \in \mathbb{R}.$$
Question 3. Solutions générales de $(E_1)$
La solution générale d'une équation différentielle linéaire est la somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène :
$$\boxed{y(t) = C\,e^{-0{,}48\,t} + \frac{1}{120}, \quad C \in \mathbb{R}.}$$
On pose $p = \dfrac{1}{y}$, c'est-à-dire $y = \dfrac{1}{p}$.
Question 1. Équation différentielle vérifiée par $p$
On dérive $y = \dfrac{1}{p}$ par rapport à $t$ :
$$y' = -\frac{p'}{p^2}.$$
En substituant dans $(E_1)$ :
$$-\frac{p'}{p^2} + \frac{0{,}48}{p} = \frac{1}{250}.$$
On multiplie par $250\,p^2$ :
$$-250\,p' + 250 \times 0{,}48\,p = p^2$$ $$-250\,p' + 120\,p = p^2$$ $$250\,p' = 120\,p - p^2 = p(120 - p).$$
On obtient :
$$\boxed{p' = \frac{p(120 - p)}{250}.}$$
Il s'agit d'une équation logistique (modèle de Verhulst), avec capacité limite $K = 120$.
Question 2. Expression de $p(t)$ à partir de la solution générale de $(E_1)$
On part de $y(t) = C\,e^{-0{,}48\,t} + \dfrac{1}{120}$ et on prend $p = \dfrac{1}{y}$ :
$$p(t) = \frac{1}{C\,e^{-0{,}48\,t} + \dfrac{1}{120}} = \frac{120}{120\,C\,e^{-0{,}48\,t} + 1}.$$
En posant $K = 120\,C$ :
$$\boxed{p(t) = \frac{120}{1 + K\,e^{-0{,}48\,t}}.}$$
Question 3. Détermination de la constante $K$ à partir de la condition initiale
La population initiale est $p(0) = 30$ (milliers de bactéries) :
$$p(0) = \frac{120}{1 + K} = 30 \implies 1 + K = \frac{120}{30} = 4 \implies K = 3.$$
La solution particulière est donc :
$$\boxed{p(t) = \frac{120}{1 + 3\,e^{-0{,}48\,t}}.}$$
Question 4. Limite de $p(t)$ quand $t \to +\infty$
$$\lim_{t \to +\infty} p(t) = \frac{120}{1 + 3 \times 0} = 120.$$
La population de bactéries tend vers $\mathbf{120}$ milliers, soit 120 000 bactéries. Il s'agit de la capacité limite (ou portance) du milieu.
Question 5. Instant à partir duquel la population dépasse 60 (milliers)
On résout $p(t) > 60$ :
$$\frac{120}{1 + 3\,e^{-0{,}48\,t}} > 60 \implies 1 + 3\,e^{-0{,}48\,t} < 2 \implies 3\,e^{-0{,}48\,t} < 1 \implies e^{-0{,}48\,t} < \frac{1}{3}.$$
En passant au logarithme (inégalité qui change de sens car $\ln$ est croissante sur $\mathbb{R}_+^*$) :
$$-0{,}48\,t < \ln\!\left(\frac{1}{3}\right) = -\ln 3 \implies t > \frac{\ln 3}{0{,}48}.$$
$$t > \frac{1{,}0986}{0{,}48} \approx 2{,}289 \text{ heures}.$$
On convertit : $0{,}289 \times 60 \approx 17$ minutes.
La population dépasse 60 000 bactéries après environ $2$ heures $17$ minutes.