Thème : QCM — Géométrie dans l'espace (droites, plans, angles)
Barème indicatif : 4 points
On dispose des données suivantes :
- $A(-3\,;\,1\,;\,4)$ et $B(1\,;\,5\,;\,2)$,
- Plan $\mathcal{P}$ d'équation $4x + 4y - 2z + 3 = 0$,
- Plan $\mathcal{P}'$ d'équation $2x + y + 6z + 5 = 0$,
- Droite $(d)$ de représentation paramétrique : $x = -6 + 3t$, $y = 1$, $z = 9 - 5t$, $t \in \mathbb{R}$.
On calcule $\overrightarrow{AB} = B - A = (4\,;\,4\,;\,-2)$.
Question 1. Position relative de la droite $(AB)$ et de la droite $(d)$
Un vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{u} = \begin{pmatrix}3\,\\\,0\,\\\,-5\end{pmatrix}$.
*Étape 1 — Les droites sont-elles parallèles ?* $\overrightarrow{AB}$ et $\vec{u}$ sont proportionnels si et seulement si $\frac{4}{3} = \frac{4}{0}$ : impossible (division par zéro). Les droites ne sont donc pas parallèles.
*Étape 2 — Ont-elles un point commun ?* On cherche si $A \in (d)$. Un point courant de $(d)$ est $(-6+3t\,;\,1\,;\,9-5t)$.
Pour $y = 1$ : l'équation en $y$ donne $1 = 1$ pour tout $t$, donc la condition sur $y$ est toujours vérifiée. En coordonnée $x$ : $-6 + 3t = -3 \Rightarrow t = 1$. En coordonnée $z$ : $9 - 5 \times 1 = 4$ $\checkmark$.
Le point $A(-3\,;\,1\,;\,4)$ appartient à la droite $(d)$. Comme $A$ appartient aussi à la droite $(AB)$, les deux droites sont sécantes en $A$.
*Étape 3 — Sont-elles perpendiculaires ?*
$$\overrightarrow{AB} \cdot \vec{u} = 4 \times 3 + 4 \times 0 + (-2)(-5) = 12 + 0 + 10 = 22 \neq 0.$$
Les droites ne sont pas perpendiculaires.
Réponse : a. $(AB)$ et $(d)$ sont sécantes et non perpendiculaires.
Question 2. Position de la droite $(AB)$ par rapport au plan $\mathcal{P}$
Le vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est $\vec{n} = \begin{pmatrix}4\,\\\,4\,\\\,-2\end{pmatrix} = 2(2\,;\,2\,;\,-1)$.
On remarque que $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\,\\\,4\,\\\,-2\end{pmatrix} = 2(2\,;\,2\,;\,-1)$.
Donc $\overrightarrow{AB}$ est colinéaire à $\vec{n}$, ce qui signifie que le vecteur directeur de $(AB)$ est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$.
Une droite dont le vecteur directeur est colinéaire à la normale d'un plan est orthogonale à ce plan (elle le coupe à angle droit).
Réponse : d. $(AB)$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
Question 3. Position relative des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$
Les vecteurs normaux sont :
$$\vec{n} = \begin{pmatrix}4\,\\\,4\,\\\,-2\end{pmatrix} = 2(2\,;\,2\,;\,-1) \quad \text{et} \quad \vec{n}' = (2\,;\,1\,;\,6).$$
*Plans parallèles ?* Les vecteurs $(2\,;\,2\,;\,-1)$ et $(2\,;\,1\,;\,6)$ ne sont pas proportionnels (par exemple $2/2 \neq 2/1$), donc les plans ne sont pas parallèles.
*Plans perpendiculaires ?*
$$\vec{n} \cdot \vec{n}' = (2)(2) + (2)(1) + (-1)(6) = 4 + 2 - 6 = 0.$$
Les normales sont perpendiculaires, donc les plans sont perpendiculaires.
Réponse : b. $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont perpendiculaires.
Question 4. Mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ avec $C(0\,;\,1\,;\,-1)$
On calcule les vecteurs à partir du sommet $A$ :
$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\,\\\,4\,\\\,-2\end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AC} = C - A = (0-(-3)\,;\,1-1\,;\,-1-4) = (3\,;\,0\,;\,-5).$$
Produit scalaire :
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 3 + 4 \times 0 + (-2)(-5) = 12 + 0 + 10 = 22.$$
Normes :
$$\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6.$$
$$\|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{9 + 0 + 25} = \sqrt{34} \approx 5{,}831.$$
Cosinus de l'angle :
$$\cos\!\left(\widehat{BAC}\right) = \frac{22}{6\sqrt{34}} = \frac{22}{6 \times 5{,}831} \approx \frac{22}{34{,}99} \approx 0{,}629.$$
$$\widehat{BAC} = \arccos(0{,}629) \approx 51°.$$
Réponse : b. $\widehat{BAC} \approx 51°$.