Thème : Caisses automatiques — Probabilités conditionnelles, loi binomiale, inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Barème indicatif : 6 points
On note $T$ l'événement « la transaction est frauduleuse » et $E$ l'événement « une erreur est détectée ». Les données du problème sont :
$$P(T) = 0{,}1, \quad P_{T}(E) = 0{,}3, \quad P_{\bar{T}}(\bar{E}) = 0{,}85 \implies P_{\bar{T}}(E) = 0{,}15.$$
Question 1. Arbre de probabilités
L'arbre est structuré en deux niveaux :
- Première branche : $T$ (probabilité $0{,}1$) et $\bar{T}$ (probabilité $0{,}9$).
- Deuxièmes branches depuis $T$ : $E$ (prob. $0{,}3$) et $\bar{E}$ (prob. $0{,}7$).
- Deuxièmes branches depuis $\bar{T}$ : $E$ (prob. $0{,}15$) et $\bar{E}$ (prob. $0{,}85$).
La probabilité de l'intersection $T \cap E$ se lit directement :
$$P(T \cap E) = P(T) \times P_{T}(E) = 0{,}1 \times 0{,}3 = 0{,}03.$$
Question 2. Probabilité que la caisse détecte une erreur
Par la formule des probabilités totales, $\{T, \bar{T}\}$ est un système complet d'événements :
$$P(E) = P(T \cap E) + P(\bar{T} \cap E) = 0{,}03 + P(\bar{T}) \times P_{\bar{T}}(E).$$
$$P(\bar{T} \cap E) = 0{,}9 \times 0{,}15 = 0{,}135.$$
$$\boxed{P(E) = 0{,}03 + 0{,}135 = 0{,}165.}$$
Question 3. Probabilité que la transaction soit frauduleuse sachant qu'une erreur a été détectée
Par la formule de Bayes :
$$P_E(T) = \frac{P(T \cap E)}{P(E)} = \frac{0{,}03}{0{,}165} = \frac{3}{16{,}5} = \frac{30}{165} = \frac{2}{11} \approx 0{,}18.$$
Ainsi, même si une erreur est détectée, la transaction n'est frauduleuse que dans environ $18\,\%$ des cas.
On effectue $15$ contrôles indépendants. La probabilité qu'une caisse détecte une erreur lors d'un contrôle est $p = P(E) = 0{,}165$.
On note $X$ le nombre de caisses ayant détecté une erreur parmi les $15$ contrôles.
Question 1. Loi de $X$
Les contrôles sont indépendants, la probabilité de succès est constante : $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 15$ et $p = 0{,}165$.
$$\boxed{X \sim \mathcal{B}(15\,;\,0{,}165).}$$
Question 2. Probabilité que exactement 5 caisses détectent une erreur
$$P(X = 5) = \binom{15}{5} \times (0{,}165)^5 \times (0{,}835)^{10}.$$
Calcul numérique :
- $\binom{15}{5} = 3003$,
- $(0{,}165)^5 \approx 1{,}26 \times 10^{-4}$,
- $(0{,}835)^{10} \approx 0{,}179$.
$$P(X = 5) \approx 3003 \times 1{,}26 \times 10^{-4} \times 0{,}179 \approx \mathbf{0{,}068}.$$
Question 3. Probabilité qu'au moins une caisse détecte une erreur
$$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (0{,}835)^{15}.$$
$(0{,}835)^{15} \approx 0{,}0656$.
$$\boxed{P(X \geq 1) \approx 1 - 0{,}0656 \approx 0{,}93.}$$
Question 4. Nombre minimal de contrôles pour que la probabilité d'au moins une détection dépasse $0{,}99$
On cherche le plus petit entier $n$ tel que $P(X_n \geq 1) > 0{,}99$, où $X_n \sim \mathcal{B}(n\,;\,0{,}165)$.
$$P(X_n \geq 1) = 1 - (0{,}835)^n > 0{,}99$$ $$\iff (0{,}835)^n < 0{,}01$$ $$\iff n \ln(0{,}835) < \ln(0{,}01)$$ $$\iff n > \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}835)} = \frac{-4{,}605}{-0{,}180} \approx 25{,}6.$$
Donc il faut au minimum $\boxed{n = 26}$ contrôles.
On dispose de trois variables $X_1, X_2, X_3$ indépendantes et identiquement distribuées suivant $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}165)$. On pose $S = X_1 + X_2 + X_3$.
Question 1. Espérance et variance de $X_1$
$$E(X_1) = n \cdot p = 20 \times 0{,}165 = 3{,}3.$$
$$V(X_1) = n \cdot p \cdot (1-p) = 20 \times 0{,}165 \times 0{,}835 = 2{,}7555.$$
Question 2. Espérance et variance de $S$
Par linéarité de l'espérance et par indépendance :
$$E(S) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = 3 \times 3{,}3 = \mathbf{9{,}9}.$$
$$V(S) = V(X_1) + V(X_2) + V(X_3) = 3 \times 2{,}7555 = \mathbf{8{,}2665}.$$
Question 3. Minoration de $P(6 < S < 14)$ par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
On approche $E(S) \approx 10$. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev affirme que pour tout $\varepsilon > 0$ :
$$P\!\left(|S - E(S)| \geq \varepsilon\right) \leq \frac{V(S)}{\varepsilon^2}.$$
L'événement $\{6 < S < 14\}$ correspond à $|S - 10| < 4$, soit $\varepsilon = 4$. On en déduit :
$$P\!\left(|S - 10| \geq 4\right) \leq \frac{V(S)}{\varepsilon^2} = \frac{8{,}2665}{16} \approx 0{,}517.$$
Par complémentarité :
$$P(6 < S < 14) = 1 - P\!\left(|S - 10| \geq 4\right) \geq 1 - 0{,}517 = \mathbf{0{,}483} > 0{,}48. \quad \checkmark$$