Corrigé – Centres Étrangers Groupe 1 2024 J2 – Exercice 4
Thème : Suites, récurrence – Fonction racine, convergence, nombre d’or, algorithme Python.
\(f\) est définie et dérivable sur \([0\,;\,+\infty[\) par \(f(x) = \sqrt{x+1}\).
Question 1. Démontrer que \(f\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
\(f\) est dérivable sur \([0\,;\,+\infty[\) et pour tout \(x \geq 0\) : \[f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}\]
Pour tout \(x \geq 0\), \(\sqrt{x+1} > 0\) donc \(f'(x) > 0\).
\[\boxed{f \text{ est strictement croissante sur } [0\,;\,+\infty[.}\]
Question 2. Démontrer que pour tout \(x \in [0\,;\,+\infty[\) : \[f(x) - x = \frac{-x^2 + x + 1}{\sqrt{x+1} + x}\]
Pour tout \(x \geq 0\) : \[f(x) - x\] \[f(x) - x = \sqrt{x+1} - x\]
On utilise l’expression conjuguée : \[\sqrt{x+1} - x = \frac{(\sqrt{x+1} - x)(\sqrt{x+1} + x)}{\sqrt{x+1} + x}\] \[\sqrt{x+1} - x = \frac{(x+1) - x^2}{\sqrt{x+1} + x}\] \[\boxed{f(x) - x = \dfrac{-x^2 + x + 1}{\sqrt{x+1} + x}}\]
Question 3. En déduire que \(f(x) = x\) admet pour unique solution \(\ell = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) sur \([0\,;\,+\infty[\).
L’équation \(f(x) = x\) est équivalente à \(f(x) - x = 0\).
D’après la question 2, pour \(x \geq 0\) : \[f(x) - x = 0\] \[\iff \frac{-x^2 + x + 1}{\sqrt{x+1} + x} = 0\] \[\iff -x^2 + x + 1 = 0 \quad (\text{car } \sqrt{x+1} + x > 0)\] \[\iff x^2 - x - 1 = 0\]
\(\Delta = 1 + 4 = 5\), les solutions sont \(\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\).
Seule \(\frac{1+\sqrt{5}}{2} > 0\) appartient à \([0\,;\,+\infty[\).
\[\boxed{\ell = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}\]
\(u_0 = 5\) et pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} = f(u_n) = \sqrt{u_n + 1}\).
Question 1. Démontrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(1 \leq u_{n+1} \leq u_n\).
On définit la propriété \(P(n)\) : « \(1 \leq u_{n+1} \leq u_n\) ».
Initialisation : Pour \(n = 0\) : \[u_0 = 5\] \[u_1 = \sqrt{u_0 + 1}\] \[u_1 = \sqrt{6}\] \[u_1 \approx 2{,}45\]
On a bien \(1 \leq u_1 \leq u_0\) car \(1 \leq \sqrt{6} \leq 5\).
\(P(0)\) est vraie.
Hérédité : Soit \(k \in \mathbb{N}\). Supposons \(P(k)\) vraie, c’est-à-dire \(1 \leq u_{k+1} \leq u_k\).
Montrons \(P(k+1)\), c’est-à-dire \(1 \leq u_{k+2} \leq u_{k+1}\).
D’après l’hypothèse : \(1 \leq u_{k+1} \leq u_k\). La fonction \(f\) est strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), donc : \[f(1) \leq f(u_{k+1}) \leq f(u_k)\] \[\sqrt{2} \leq u_{k+2} \leq u_{k+1}\]
Or \(\sqrt{2} \geq 1\), donc \(1 \leq u_{k+2} \leq u_{k+1}\).
\(P(k+1)\) est vraie.
Conclusion : \(P(0)\) est vraie et pour tout \(k \in \mathbb{N}\), \(P(k)\) vraie entraîne \(P(k+1)\) vraie. Par le principe de récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
\[\boxed{\text{Pour tout } n \in \mathbb{N},\; 1 \leq u_{n+1} \leq u_n.}\]
Question 2. En déduire que la suite \((u_n)\) converge.
D’après la question 1, la suite \((u_n)\) est décroissante (car \(u_{n+1} \leq u_n\) pour tout \(n\)) et minorée par \(1\) (car \(u_{n+1} \geq 1 \implies u_n \geq 1\) pour tout \(n \geq 1\), et \(u_0 = 5 \geq 1\)).
Une suite décroissante et minorée converge.
\[\boxed{\text{La suite } (u_n) \text{ converge.}}\]
Question 3. Démontrer que \((u_n)\) converge vers \(\ell = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\).
Soit \(L = \lim_{n \to +\infty} u_n\).
La fonction \(f\) est continue sur \([0\,;\,+\infty[\), donc en passant à la limite dans la relation \(u_{n+1} = f(u_n)\) : \[L = f(L)\] \[L = \sqrt{L+1}\]
D’après la partie A, l’unique solution sur \([0\,;\,+\infty[\) de \(f(x) = x\) est \(\ell = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\).
De plus, \(u_n \geq 1\) pour tout \(n\), donc \(L \geq 1\).
\[\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}\]
Question 4. Script Python.
Valeur renvoyée par seuil(2).
Le programme calcule le plus petit \(i\) tel que \(|u_i - \ell| < 10^{-2}\).
On calcule les premiers termes :
\(u_0 = 5\), \(|5 - 1{,}618| = 3{,}382 \geq 10^{-2}\)
\(u_1 = \sqrt{6} \approx 2{,}449\), \(|2{,}449 - 1{,}618| = 0{,}831 \geq 10^{-2}\)
\(u_2 = \sqrt{u_1+1} \approx 1{,}857\), \(|1{,}857 - 1{,}618| = 0{,}239 \geq 10^{-2}\)
\(u_3 = \sqrt{u_2+1} \approx 1{,}691\), \(|1{,}691 - 1{,}618| = 0{,}073 \geq 10^{-2}\)
\(u_4 = \sqrt{u_3+1} \approx 1{,}640\), \(|1{,}640 - 1{,}618| = 0{,}022 \geq 10^{-2}\)
\(u_5 = \sqrt{u_4+1} \approx 1{,}625\), \(|1{,}625 - 1{,}618| = 0{,}007 < 10^{-2}\)
\[\boxed{\texttt{seuil(2)} \text{ renvoie } 5}\]
seuil(4) renvoie 9. Interprétation.
Cela signifie qu’à partir de \(n = 9\), \(|u_n - \ell| < 10^{-4}\).
Autrement dit, 9 itérations suffisent pour que \(u_n\) approche \(\ell\) à \(10^{-4}\) près.
\[\boxed{\text{À partir du rang } 9,\; |u_n - \ell| < 10^{-4}.}\]