Thème : Probabilités, dénombrement – Tirages avec remise, loi uniforme, espérance.

Un sac contient 8 jetons numérotés de 1 à 8. À trois reprises, un joueur pioche un jeton, note son numéro, puis le remet dans le sac. Un « tirage » est la liste ordonnée des trois numéros obtenus.

Question 1. Déterminer le nombre de tirages possibles.

Il s’agit de tirages avec remise : à chaque pioche, il y a 8 choix possibles, et les trois pioches sont indépendantes.

Le nombre de tirages possibles est : \[\boxed{8^3 = 512}\]

Question 2.

1. Déterminer le nombre de tirages sans répétition de numéro.

   Pour un tirage sans répétition, le 1 jeton a 8 choix, le 2 en a 7 (différent du 1), le 3 en a 6 (différent des deux premiers).

   \[\boxed{8 \times 7 \times 6 = 336}\]

2. En déduire le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro.

   Le nombre de tirages avec au moins une répétition est le complémentaire des tirages sans répétition.

   \[512 - 336\] \[\boxed{176}\]

Question 3. Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X_1\).

\(X_1\) est le numéro du premier jeton pioché. Comme le tirage est avec remise et les jetons sont indiscernables, chaque numéro de 1 à 8 a la même probabilité d’être pioché.

\(X_1\) suit la loi uniforme sur \(\{1, 2, \dots, 8\}\).

Pour tout \(k \in \{1, 2, \dots, 8\}\) : \[\boxed{P(X_1 = k) = \frac{1}{8}}\]

Question 4. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire \(X_1\).

Pour une loi uniforme sur \(\{1, 2, \dots, 8\}\) : \[E(X_1) = \frac{1 + 8}{2}\] \[\boxed{E(X_1) = 4{,}5}\]

Question 5. Déterminer l’espérance de \(S = X_1 + X_2 + X_3\).

Par linéarité de l’espérance : \[E(S) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)\]

Or \(X_1\), \(X_2\) et \(X_3\) suivent la même loi que \(X_1\), donc : \[E(S) = 3 \times 4{,}5\] \[\boxed{E(S) = 13{,}5}\]

Question 6. Déterminer \(P(S = 24)\).

Pour que \(S = 24\), la somme des trois numéros doit être 24. Chaque numéro est entre 1 et 8. La somme maximale est \(8 + 8 + 8 = 24\).

La seule possibilité pour obtenir 24 est donc le tirage \((8\,;\,8\,;\,8)\).

Comme il y a \(8^3 = 512\) tirages équiprobables : \[\boxed{P(S = 24) = \frac{1}{512}}\]

Question 7. Si un joueur obtient une somme \(S \geq 22\), il gagne un lot.

1. Justifier qu’il existe exactement 10 tirages permettant de gagner un lot.

   On cherche les triplets \((a, b, c)\) avec \(a, b, c \in \{1, \dots, 8\}\) tels que \(a + b + c \geq 22\).

   • \(S = 24\) : seul \((8, 8, 8)\) — 1 tirage.

   • \(S = 23\) : \(8 + 8 + 7 = 23\), permutations de \((8, 8, 7)\) : il y a \(\frac{3!}{2!} = 3\) tirages.

   • \(S = 22\) :

     • \(8 + 8 + 6 = 22\) : permutations de \((8, 8, 6)\) : \(3\) tirages.

     • \(8 + 7 + 7 = 22\) : permutations de \((8, 7, 7)\) : \(3\) tirages.

   Total : \(1 + 3 + 3 + 3 = 10\) tirages.

   \[\boxed{\text{Il existe exactement 10 tirages gagnants.}}\]

2. En déduire la probabilité de gagner un lot.

   \[P(\text{gagner}) = \frac{10}{512}\] \[P(\text{gagner}) = \frac{5}{256}\] \[\boxed{P(\text{gagner}) = \frac{5}{256} \approx 0{,}0195}\]