Corrigé – Centres Étrangers Groupe 1 2024 J1 – Exercice 3
Thème : Équations différentielles – Résolution, solution particulière, condition initiale, calcul intégral.
Question 1. L’unique fonction constante solution de \((E_0)\) est la fonction nulle.
Soit \(y(x) = k\) (constante) une solution de \((E_0)\). Alors \(y'(x) = 0\) et \(y(x) = k\).
En remplaçant dans \((E_0)\) : \(0 = k\).
Donc \(k = 0\). La seule fonction constante solution est la fonction nulle.
\[\boxed{y(x) = 0}\]
Question 2. Toutes les solutions de \((E_0)\).
L’équation différentielle \(y' = y\) est de la forme \(y' = ay\) avec \(a = 1\). Ses solutions sur \(\mathbb{R}\) sont :
\[\boxed{y(x) = C e^{x}, \quad C \in \mathbb{R}}\]
Question 3. \(h(x) = 2\cos(x) + \sin(x)\) est solution de \((E)\).
\(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et : \[h'(x) = -2\sin(x) + \cos(x)\]
Remplaçons dans le membre de droite de \((E)\) : \[h(x) - \cos(x) - 3\sin(x) = 2\cos(x) + \sin(x) - \cos(x) - 3\sin(x)\] \[h(x) - \cos(x) - 3\sin(x) = \cos(x) - 2\sin(x)\]
On a bien \(h'(x) = \cos(x) - 2\sin(x) = h(x) - \cos(x) - 3\sin(x)\).
\[\boxed{h \text{ est solution de } (E).}\]
Question 4. Équivalence : \(f\) solution de \((E)\) \(\iff\) \(f - h\) solution de \((E_0)\).
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Sens direct : Supposons \(f\) solution de \((E)\). \[f' = f - \cos(x) - 3\sin(x)\] Comme \(h\) est solution de \((E)\) : \[h' = h - \cos(x) - 3\sin(x)\] Par soustraction : \[f' - h' = f - h\] \[(f - h)' = f - h\] Donc \(f - h\) est solution de \((E_0)\).
Réciproque : Supposons \(f - h\) solution de \((E_0)\). \[(f - h)' = f - h\] \[f' - h' = f - h\] Or \(h' = h - \cos(x) - 3\sin(x)\), donc : \[f' - (h - \cos(x) - 3\sin(x)) = f - h\] \[f' = f - \cos(x) - 3\sin(x)\] Donc \(f\) est solution de \((E)\).
\[\boxed{f \text{ solution de } (E) \iff f - h \text{ solution de } (E_0)}\]
Question 5. Toutes les solutions de \((E)\).
D’après Q4, \(f\) solution de \((E)\) \(\iff\) \(f - h\) solution de \((E_0)\).
D’après Q2, les solutions de \((E_0)\) sont \(x \mapsto C e^{x}\) avec \(C \in \mathbb{R}\).
Donc \(f(x) - h(x) = C e^{x}\), d’où : \[f(x) = h(x) + C e^{x}\] \[\boxed{f(x) = 2\cos(x) + \sin(x) + C e^{x}, \quad C \in \mathbb{R}}\]
Question 6. Unique solution \(g\) de \((E)\) telle que \(g(0) = 0\).
\[g(0) = 2\cos(0) + \sin(0) + C e^{0}\] \[g(0) = 2 \times 1 + 0 + C \times 1\] \[g(0) = 2 + C\]
On veut \(g(0) = 0\), donc : \[2 + C = 0\] \[\iff C = -2\]
\[\boxed{g(x) = 2\cos(x) + \sin(x) - 2e^{x}}\]
Question 7. Calculer \(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(-2e^{x} + \sin(x) + 2\cos(x)\right) dx\).
On remarque que l’intégrande est exactement \(g(x) = 2\cos(x) + \sin(x) - 2e^{x}\).
Une primitive de \(g\) sur \(\mathbb{R}\) est : \[G(x) = 2\sin(x) - \cos(x) - 2e^{x}\]
En effet :
primitive de \(2\cos(x)\) : \(2\sin(x)\)
primitive de \(\sin(x)\) : \(-\cos(x)\)
primitive de \(-2e^{x}\) : \(-2e^{x}\)
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} g(x)\,dx = G\!\left(\frac{\pi}{2}\right) - G(0)\] \[G\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right) - \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) - 2e^{\frac{\pi}{2}}\] \[G\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \times 1 - 0 - 2e^{\frac{\pi}{2}}\] \[G\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 - 2e^{\frac{\pi}{2}}\] \[G(0) = 2\sin(0) - \cos(0) - 2e^{0}\] \[G(0) = 0 - 1 - 2\] \[G(0) = -3\]
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} g(x)\,dx = \left(2 - 2e^{\frac{\pi}{2}}\right) - (-3)\] \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} g(x)\,dx = 5 - 2e^{\frac{\pi}{2}}\]
\[\boxed{\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(-2e^{x} + \sin(x) + 2\cos(x)\right) dx = 5 - 2e^{\frac{\pi}{2}}}\]