Thème : Suites, fonction exponentielle – Récurrence, convergence, Python.

\(f\) est définie sur \([0\,;\,1]\) par \(f(x) = 2x e^{-x}\), dérivable sur \([0\,;\,1]\).

Question 1.a. Résoudre \(f(x) = x\) sur \([0\,;\,1]\).

\[f(x) = x\] \[\iff 2x e^{-x} = x\] \[\iff 2x e^{-x} - x = 0\] \[\iff x(2e^{-x} - 1) = 0\]

Donc : \[x = 0 \quad \text{ou} \quad 2e^{-x} - 1 = 0\] \[2e^{-x} = 1\] \[\iff e^{-x} = \frac{1}{2}\] \[\iff -x = \ln\!\left(\frac{1}{2}\right)\] \[\iff x = \ln(2)\]

\(\ln(2) \approx 0{,}693 \in [0\,;\,1]\), donc les deux solutions sont dans l’intervalle.

\[\boxed{\mathcal{S} = \{0\,;\,\ln(2)\}}\]

Question 1.b. Démontrer que \(f'(x) = 2(1-x)e^{-x}\).

\(f\) est de la forme \(u \times v\) avec \(u(x) = 2x\) et \(v(x) = e^{-x}\).

\(u'(x) = 2\) et \(v'(x) = -e^{-x}\).

\[f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\] \[f'(x) = 2 \times e^{-x} + 2x \times (-e^{-x})\] \[f'(x) = 2e^{-x} - 2x e^{-x}\] \[\boxed{f'(x) = 2(1-x)e^{-x}}\]

Question 1.c. Tableau de variations de \(f\) sur \([0\,;\,1]\).

Pour tout \(x \in [0\,;\,1]\), \(e^{-x} > 0\). Le signe de \(f'(x)\) est donc celui de \(1-x\).

• Pour \(x \in [0\,;\,1[\), \(1-x > 0\), donc \(f'(x) > 0\).

• \(f'(1) = 2(1-1)e^{-1} = 0\).

\(f\) est strictement croissante sur \([0\,;\,1]\).

\[f(0) = 2 \times 0 \times e^{0} = 0\] \[f(1) = 2 \times 1 \times e^{-1} = \frac{2}{e} \approx 0{,}736\]

Suite \((u_n)\)

\((u_n)\) est définie par \(u_0 = 0{,}1\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

Question 2.a. Démontrer par récurrence que \(0 \leq u_n < u_{n+1} \leq 1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : « \(0 \leq u_n < u_{n+1} \leq 1\) ».

Initialisation : \(n = 0\). \[u_0 = 0{,}1\] \[u_1 = f(u_0) = f(0{,}1) = 0{,}2 \times e^{-0{,}1} \approx 0{,}181\]

On a bien \(0 \leq 0{,}1 < 0{,}181 \leq 1\). Donc \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité : Soit \(k \in \mathbb{N}\). Supposons que \(\mathcal{P}(k)\) est vraie, c’est-à-dire \(0 \leq u_k < u_{k+1} \leq 1\). Montrons que \(\mathcal{P}(k+1)\) est vraie.

D’après la question 1.c, \(f\) est strictement croissante sur \([0\,;\,1]\). On applique \(f\) à l’inégalité : \[f(0) \leq f(u_k) < f(u_{k+1}) \leq f(1)\]

Or \(f(0) = 0\), \(f(u_k) = u_{k+1}\), \(f(u_{k+1}) = u_{k+2}\) et \(f(1) = \dfrac{2}{e} \leq 1\).

Donc : \[0 \leq u_{k+1} < u_{k+2} \leq 1\]

Ainsi \(\mathcal{P}(k+1)\) est vraie.

Conclusion : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie et pour tout \(k \in \mathbb{N}\), \(\mathcal{P}(k)\) vraie entraîne \(\mathcal{P}(k+1)\) vraie. Par le principe de récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

\[\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\; 0 \leq u_n < u_{n+1} \leq 1}\]

Question 2.b. En déduire que \((u_n)\) est convergente.

D’après 2.a, \((u_n)\) est strictement croissante et majorée par \(1\).

Toute suite croissante et majorée est convergente.

\[\boxed{(u_n) \text{ est convergente.}}\]

Question 3. Démontrer que \(\lim_{n \to +\infty} u_n = \ln(2)\).

Notons \(\ell = \lim_{n \to +\infty} u_n\).

\(f\) est continue sur \([0\,;\,1]\) (produit de fonctions continues). Par passage à la limite dans la relation \(u_{n+1} = f(u_n)\), on obtient : \[\ell = f(\ell)\]

D’après 1.a, les solutions de \(f(x) = x\) sur \([0\,;\,1]\) sont \(0\) et \(\ln(2)\).

Or \((u_n)\) est croissante et \(u_0 = 0{,}1 > 0\), donc \(\ell \geq u_0 > 0\). La limite ne peut pas être \(0\).

\[\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = \ln(2)}\]

Question 4.a. Justifier que \(\ln(2) - u_n\) est positif pour tout \(n\).

D’après 2.a, \((u_n)\) est croissante et converge vers \(\ln(2)\). Pour une suite croissante convergente, tous les termes sont inférieurs ou égaux à la limite.

Donc pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \leq \ln(2)\), d’où : \[\boxed{\ln(2) - u_n \geq 0}\]

Question 4.b. Compléter le script Python.

def seuil():
    n = 0
    u = 0.1
    while ln(2) - u >= 0.0001:
        n = n + 1
        u = 2 * u * exp(-u)
    return (u, n)

Explication : La boucle continue tant que l’écart entre \(\ln(2)\) et \(u\) est supérieur ou égal à \(10^{-4}\). À chaque itération, on calcule le terme suivant \(u_{n+1} = f(u_n) = 2u_n e^{-u_n}\) et on incrémente \(n\). Quand l’écart devient strictement inférieur à \(10^{-4}\), la boucle s’arrête et renvoie le couple \((u, n)\).

Question 4.c. Valeur de \(n\) renvoyée par seuil().

On peut estimer les premiers termes :

• \(u_0 = 0{,}1\), \(\ln(2) - u_0 \approx 0{,}593\)

• \(u_1 \approx 0{,}181\), écart \(\approx 0{,}512\)

• \(u_2 \approx 0{,}302\), écart \(\approx 0{,}391\)

• \(u_3 \approx 0{,}447\), écart \(\approx 0{,}246\)

• \(u_4 \approx 0{,}572\), écart \(\approx 0{,}121\)

• \(u_5 \approx 0{,}646\), écart \(\approx 0{,}047\)

• \(u_6 \approx 0{,}677\), écart \(\approx 0{,}016\)

• \(u_7 \approx 0{,}688\), écart \(\approx 0{,}005\)

• \(u_8 \approx 0{,}6915\), écart \(\approx 0{,}0016\)

• \(u_9 \approx 0{,}6927\), écart \(\approx 0{,}0004\)

• \(u_{10} \approx 0{,}6930\), écart \(\approx 0{,}00015\)

• \(u_{11} \approx 0{,}6931\), écart \(\approx 5 \times 10^{-5} < 10^{-4}\)

Ainsi, la boucle s’arrête à \(n = 11\).

\[\boxed{n = 11}\]