Thème : Équation différentielle — réaction chimique (5 points)
On modélise la température (en degrés) lors d'une réaction chimique par une fonction de la forme :
$$f(t) = (at + b)\,e^{-0{,}5t}, \quad t \in [0\,;\,10],$$
où $a$ et $b$ sont des constantes réelles, et $f$ satisfait l'équation différentielle :
$$y' + 0{,}5\,y = 60\,e^{-0{,}5t}.$$
Question A1. Lecture graphique.
D'après la courbe donnée, la température semble retrouver sa valeur initiale $f(0)$ approximativement vers $t \approx 8$ minutes (lecture graphique — valeur indicative).
Question A2. Montrer que $b = 40$.
La condition initiale est $f(0) = 40$ :
$$f(0) = (a \times 0 + b)\,e^{0} = b \times 1 = b.$$
Donc $\boxed{b = 40.}$ $\checkmark$
Question A3. Déterminer $a$ en injectant $f$ dans l'équation différentielle.
Calcul de $f'(t)$ :
$$f(t) = (at + 40)\,e^{-0{,}5t}.$$
On applique la règle de dérivation du produit $(u\cdot v)' = u'v + uv'$ avec $u = at+40$ et $v = e^{-0{,}5t}$ :
$$f'(t) = a\,e^{-0{,}5t} + (at+40)\times(-0{,}5)\,e^{-0{,}5t} = \bigl[a - 0{,}5(at+40)\bigr]\,e^{-0{,}5t}.$$
$$f'(t) = \bigl[a - 0{,}5at - 20\bigr]\,e^{-0{,}5t}.$$
Injection dans l'équation différentielle $f' + 0{,}5f = 60e^{-0{,}5t}$ :
$$f'(t) + 0{,}5\,f(t) = \bigl[a - 0{,}5at - 20\bigr]\,e^{-0{,}5t} + 0{,}5\,(at+40)\,e^{-0{,}5t}$$
$$= \bigl[a - 0{,}5at - 20 + 0{,}5at + 20\bigr]\,e^{-0{,}5t} = a\,e^{-0{,}5t}.$$
Pour que cela soit égal à $60\,e^{-0{,}5t}$, il faut :
$$a = \boxed{60.}$$
Question B1. Exprimer $f'(t)$ et simplifier.
$$f'(t) = \bigl[60 - 0{,}5(60t+40)\bigr]\,e^{-0{,}5t} = \bigl[60 - 30t - 20\bigr]\,e^{-0{,}5t} = \boxed{(40 - 30t)\,e^{-0{,}5t}.} \checkmark$$
Question B2a. Tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\,10]$.
Signe de $f'(t)$ :
- $e^{-0{,}5t} > 0$ pour tout $t$.
- $f'(t) = 0 \iff 40 - 30t = 0 \iff t = \dfrac{40}{30} = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}33$.
- $f'(t) > 0$ pour $t < \dfrac{4}{3}$ (croissant), $f'(t) < 0$ pour $t > \dfrac{4}{3}$ (décroissant).
Calculs des valeurs remarquables :
$$f(0) = 40\,e^{0} = 40.$$
$$f\!\left(\frac{4}{3}\right) = \left(60\times\frac{4}{3}+40\right)e^{-\frac{2}{3}} = (80+40)\,e^{-2/3} = 120\,e^{-2/3} \approx 120 \times 0{,}5134 \approx 61{,}6.$$
$$f(10) = (600+40)\,e^{-5} = 640\,e^{-5} \approx 640 \times 0{,}00674 \approx 4{,}3.$$
Tableau de variations :
| $t$ | $0$ | | $\dfrac{4}{3}$ | | $10$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $f'(t)$ | | $+$ | $0$ | $-$ | | | $f(t)$ | $40$ | $\nearrow$ | $120\,e^{-2/3} \approx 61{,}6$ | $\searrow$ | $640\,e^{-5} \approx 4{,}3$ |
$f$ est croissante sur $\left[0\,;\,\dfrac{4}{3}\right]$ et décroissante sur $\left[\dfrac{4}{3}\,;\,10\right]$.
Question B2b. Montrer que l'équation $f(t) = 40$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\left]\dfrac{4}{3}\,;\,10\right]$.
- $f(0) = 40$ : solution évidente en $t = 0$, mais on cherche sur $\left]\dfrac{4}{3}\,;\,10\right]$.
- $f\!\left(\dfrac{4}{3}\right) \approx 61{,}6 > 40$.
- $f(10) \approx 4{,}3 < 40$.
$f$ est continue et strictement décroissante sur $\left[\dfrac{4}{3}\,;\,10\right]$, passant de $\approx 61{,}6$ à $\approx 4{,}3$.
Comme $4{,}3 < 40 < 61{,}6$, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique $\alpha \in \left]\dfrac{4}{3}\,;\,10\right[$ tel que $f(\alpha) = 40$. $\checkmark$
Question B2c. Encadrement de $\alpha$ et interprétation.
On cherche $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 40$.
Calculs :
- $f(3) = (180+40)\,e^{-1{,}5} = 220 \times 0{,}2231 \approx 49{,}1 > 40$.
- $f(3{,}5) = (210+40)\,e^{-1{,}75} = 250 \times 0{,}1738 \approx 43{,}5 > 40$.
- $f(4) = (240+40)\,e^{-2} = 280 \times 0{,}1353 \approx 37{,}9 < 40$.
- $f(3{,}8) = (228+40)\,e^{-1{,}9} = 268 \times 0{,}1496 \approx 40{,}1 \approx 40$.
Donc $\alpha \in ]3{,}5\,;\,4[$, et plus précisément :
$$\boxed{\alpha \approx 3{,}8 \text{ minutes.}}$$
Interprétation : Environ $3{,}8$ minutes après le début de la réaction chimique, la température revient à sa valeur initiale de $40{}^{\circ}$.
Question B3a. Calculer $\displaystyle I = \int_0^4 f(t)\,dt$ par intégration par parties.
$$I = \int_0^4 (60t+40)\,e^{-0{,}5t}\,dt.$$
On pose :
$$u = 60t + 40 \quad \Rightarrow \quad u' = 60,$$ $$v' = e^{-0{,}5t} \quad \Rightarrow \quad v = \frac{e^{-0{,}5t}}{-0{,}5} = -2\,e^{-0{,}5t}.$$
Formule d'intégration par parties : $\displaystyle\int u\,v'\,dt = [u\,v] - \int u'\,v\,dt$.
$$I = \Bigl[(60t+40)\times(-2\,e^{-0{,}5t})\Bigr]_0^4 - \int_0^4 60 \times (-2\,e^{-0{,}5t})\,dt$$
$$= \Bigl[-2(60t+40)\,e^{-0{,}5t}\Bigr]_0^4 + 120\int_0^4 e^{-0{,}5t}\,dt.$$
Premier terme :
$$\Bigl[-2(60t+40)\,e^{-0{,}5t}\Bigr]_0^4 = -2(240+40)\,e^{-2} - (-2\times 40 \times e^{0}) = -560\,e^{-2} + 80.$$
Deuxième terme :
$$120\int_0^4 e^{-0{,}5t}\,dt = 120\Bigl[-2\,e^{-0{,}5t}\Bigr]_0^4 = 120\bigl(-2\,e^{-2} + 2\bigr) = -240\,e^{-2} + 240.$$
Résultat final :
$$I = -560\,e^{-2} + 80 - 240\,e^{-2} + 240 = \boxed{320 - 800\,e^{-2}.}$$
Valeur numérique : $320 - 800 \times 0{,}1353 \approx 320 - 108{,}3 \approx 211{,}7$.
Interprétation : $I = \displaystyle\int_0^4 f(t)\,dt \approx 211{,}7$ représente l'aire (en unités) sous la courbe de température entre $t = 0$ et $t = 4$ minutes, c'est-à-dire l'accumulation de chaleur sur cette période.