Thème : Géométrie dans l'espace — vrai ou faux (5 points)
On se place dans un repère orthonormé. On considère :
- Plan $\mathcal{P}$ : $2x + 3y + 6z - 6 = 0$, de vecteur normal $\vec{n}_{\mathcal{P}} = (2\,;\,3\,;\,6)$.
- Plan $\mathcal{P}'$ : $x - 2y + 3z - 3 = 0$, de vecteur normal $\vec{n}_{\mathcal{P}'} = (1\,;\,-2\,;\,3)$.
- Droite $(d)$ : $x = -8 + \dfrac{t}{3}$, $y = -1 + \dfrac{t}{2}$, $z = -4 + t$, de vecteur directeur $\vec{u} = \left(\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,1\right) \propto (2\,;\,3\,;\,6)$.
- Points : $C(3\,;\,0\,;\,0)$, $D(0\,;\,2\,;\,0)$, $H(-6\,;\,2\,;\,2)$, $J\!\left(-\dfrac{54}{13}\,;\,\dfrac{62}{13}\,;\,0\right)$.
Énoncé : La droite $(d)$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$ et le coupe au point $H$.
Étape 1 : $(d) \perp \mathcal{P}$ ?
Le vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{u} = \left(\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,1\right)$, proportionnel à $(2\,;\,3\,;\,6)$.
Le vecteur normal de $\mathcal{P}$ est $\vec{n}_{\mathcal{P}} = (2\,;\,3\,;\,6)$.
Puisque $\vec{u} \parallel \vec{n}_{\mathcal{P}}$, la droite $(d)$ est bien perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$. $\checkmark$
Étape 2 : $H \in (d)$ ?
On cherche $t$ tel que $(x,y,z) = H(-6\,;\,2\,;\,2)$ :
- $x = -8 + \dfrac{t}{3} = -6 \Rightarrow \dfrac{t}{3} = 2 \Rightarrow t = 6$.
- $y = -1 + \dfrac{t}{2} = -1 + 3 = 2$. $\checkmark$
- $z = -4 + t = -4 + 6 = 2$. $\checkmark$
$H$ est bien sur $(d)$. $\checkmark$
Étape 3 : $H \in \mathcal{P}$ ?
$$2(-6) + 3(2) + 6(2) - 6 = -12 + 6 + 12 - 6 = 0. \checkmark$$
$H$ est bien sur $\mathcal{P}$. $\checkmark$
Conclusion : VRAI. La droite $(d)$ est orthogonale à $\mathcal{P}$ et la coupe en $H(-6\,;\,2\,;\,2)$.
Énoncé : L'angle $\widehat{DCH} \approx 17{,}3{}^{\circ}$.
Vecteurs issus de $C$ :
$$\overrightarrow{CD} = D - C = (-3\,;\,2\,;\,0), \qquad \overrightarrow{CH} = H - C = (-9\,;\,2\,;\,2).$$
Produit scalaire :
$$\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CH} = (-3)(-9) + (2)(2) + (0)(2) = 27 + 4 + 0 = 31.$$
Normes :
$$\|\overrightarrow{CD}\| = \sqrt{9 + 4 + 0} = \sqrt{13}, \qquad \|\overrightarrow{CH}\| = \sqrt{81 + 4 + 4} = \sqrt{89}.$$
Cosinus de l'angle :
$$\cos\!\left(\widehat{DCH}\right) = \frac{31}{\sqrt{13} \times \sqrt{89}} = \frac{31}{\sqrt{1157}} \approx \frac{31}{34{,}01} \approx 0{,}9115.$$
$$\widehat{DCH} = \arccos(0{,}9115) \approx 24{,}4{}^{\circ}.$$
Or $24{,}4{}^{\circ} \neq 17{,}3{}^{\circ}$.
Conclusion : FAUX. L'angle $\widehat{DCH}$ est d'environ $24{,}4{}^{\circ}$, et non $17{,}3{}^{\circ}$.
Énoncé : L'intersection $\mathcal{P} \cap \mathcal{P}'$ est la droite $\Delta$ paramétrée par $x = 3 - 3t$, $y = 0$, $z = t$.
Étape 1 : Vecteur directeur de $\mathcal{P} \cap \mathcal{P}'$.
La droite d'intersection est perpendiculaire aux deux normales, donc son vecteur directeur est $\vec{n}_{\mathcal{P}} \wedge \vec{n}_{\mathcal{P}'}$ :
$$\vec{n}_{\mathcal{P}} \wedge \vec{n}_{\mathcal{P}'} = (2\,;\,3\,;\,6) \wedge (1\,;\,-2\,;\,3)$$
$$= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 2 & 3 & 6 \\ 1 & -2 & 3\end{vmatrix} = \bigl(3\times 3 - 6\times(-2)\,;\; 6\times 1 - 2\times 3\,;\; 2\times(-2) - 3\times 1\bigr)$$
$$= (9 + 12\,;\; 6 - 6\,;\; -4 - 3) = (21\,;\,0\,;\,-7) \propto (3\,;\,0\,;\,-1).$$
Le vecteur directeur de $\Delta$ dans l'énoncé : pour $t=0 \to (3,0,0)$ et pour $t=1 \to (0,0,1)$, soit $\vec{v}_\Delta = (-3\,;\,0\,;\,1) \propto (3\,;\,0\,;\,-1)$. $\checkmark$
Étape 2 : Vérifier que le point de $\Delta$ pour $t=0$ appartient aux deux plans.
Pour $t = 0$ : $(x,y,z) = (3\,;\,0\,;\,0) = C$.
- Dans $\mathcal{P}$ : $2(3) + 3(0) + 6(0) - 6 = 6 - 6 = 0$. $\checkmark$
- Dans $\mathcal{P}'$ : $3 - 0 + 0 - 3 = 0$. $\checkmark$
$C$ appartient aux deux plans. $\checkmark$
Étape 3 : Vérifier qu'un autre point de $\Delta$ appartient aux deux plans.
Pour $t = 1$ : $(0\,;\,0\,;\,1)$.
- Dans $\mathcal{P}$ : $2(0) + 3(0) + 6(1) - 6 = 0$. $\checkmark$
- Dans $\mathcal{P}'$ : $0 - 0 + 3 - 3 = 0$. $\checkmark$
Conclusion : VRAI. L'intersection de $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ est bien la droite $\Delta$ paramétrée par $x = 3-3t$, $y=0$, $z=t$.
Énoncé : $J$ est le projeté orthogonal de $H$ sur la droite $(CD)$.
Étape 1 : Vérifier que $J \in (CD)$.
La droite $(CD)$ passe par $C(3\,;\,0\,;\,0)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix}-3\,\\\,2\,\\\,0\end{pmatrix}$.
Points de $(CD)$ : $(3 - 3t\,;\, 2t\,;\, 0)$.
Pour $J = \left(-\dfrac{54}{13}\,;\,\dfrac{62}{13}\,;\,0\right)$ :
- $z = 0$ : $\checkmark$ (cohérent avec la paramétrisation).
- $3 - 3t = -\dfrac{54}{13} \Rightarrow 3t = 3 + \dfrac{54}{13} = \dfrac{39 + 54}{13} = \dfrac{93}{13} \Rightarrow t = \dfrac{31}{13}$.
- $2t = \dfrac{62}{13}$. $\checkmark$ ($t = \dfrac{31}{13}$ vérifie bien $2t = \dfrac{62}{13}$.)
$J$ est bien sur $(CD)$. $\checkmark$
Étape 2 : Vérifier que $\overrightarrow{HJ} \perp \overrightarrow{CD}$.
$$\overrightarrow{HJ} = J - H = \left(-\frac{54}{13} - (-6)\,;\,\frac{62}{13} - 2\,;\,0 - 2\right) = \left(-\frac{54}{13} + \frac{78}{13}\,;\,\frac{62-26}{13}\,;\,-2\right) = \left(\frac{24}{13}\,;\,\frac{36}{13}\,;\,-2\right).$$
$$\overrightarrow{HJ} \cdot \overrightarrow{CD} = \frac{24}{13} \times (-3) + \frac{36}{13} \times 2 + (-2) \times 0 = -\frac{72}{13} + \frac{72}{13} + 0 = 0. \checkmark$$
$\overrightarrow{HJ}$ est bien orthogonal à $\overrightarrow{CD}$.
Conclusion : VRAI. $J$ est le projeté orthogonal de $H$ sur la droite $(CD)$.
| Affirmation | Vrai / Faux | |:-----------:|:-----------:| | 1 | VRAI | | 2 | FAUX | | 3 | VRAI | | 4 | VRAI |