Thème : Suites — modèle de population, Python (5 points)
On étudie deux suites $(u_n)$ et $(w_n)$ modélisant des populations.
$$u_0 = 30, \quad u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + 10, \qquad w_0 = 45, \quad w_{n+1} = \frac{w_n}{2} + \frac{u_n}{2} + 7.$$
Question A1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
$$u_1 = \frac{u_0}{2} + 10 = \frac{30}{2} + 10 = 15 + 10 = \boxed{25.}$$
$$u_2 = \frac{u_1}{2} + 10 = \frac{25}{2} + 10 = 12{,}5 + 10 = \boxed{22{,}5.}$$
Question A2. Montrer que la suite $v_n = u_n - 20$ est géométrique.
On calcule $v_{n+1}$ :
$$v_{n+1} = u_{n+1} - 20 = \left(\frac{u_n}{2} + 10\right) - 20 = \frac{u_n}{2} - 10 = \frac{u_n - 20}{2} = \frac{v_n}{2}.$$
La suite $(v_n)$ vérifie $v_{n+1} = \dfrac{1}{2}\,v_n$ : elle est géométrique de raison $r = \dfrac{1}{2}$. $\checkmark$
Question A3. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
$$v_n = v_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n.$$
On calcule $v_0 = u_0 - 20 = 30 - 20 = 10$.
$$\boxed{v_n = 10 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{10}{2^n}.}$$
Question A4. En déduire $u_n$.
$$u_n = v_n + 20 = \boxed{20 + \frac{10}{2^n}.}$$
Vérification pour $n=1$ : $20 + \dfrac{10}{2} = 25 = u_1$. $\checkmark$
Question A5. Limite de $(u_n)$ et interprétation.
Puisque $\dfrac{1}{2^n} \to 0$ quand $n \to +\infty$ :
$$\lim_{n \to +\infty} u_n = 20 + 0 = \boxed{20.}$$
Interprétation : La population modélisée par $(u_n)$ tend vers un état d'équilibre de $20$ unités à long terme.
Question B1. Vérifier que $w_1 = 44{,}5$.
$$w_1 = \frac{w_0}{2} + \frac{u_0}{2} + 7 = \frac{45}{2} + \frac{30}{2} + 7 = 22{,}5 + 15 + 7 = \boxed{44{,}5.} \checkmark$$
Question B2. Correction de la fonction Python.
La fonction calcule les termes $u_n$ et $w_n$ de manière itérative. L'erreur classique est de mettre à jour $U$ avant de calculer le nouveau $W$, ce qui utilise $u_{n+1}$ au lieu de $u_n$ dans la relation de récurrence.
Code incorrect (supposé) :
U = U / 2 + 10 # ligne 5 : U est déjà u_{n+1}
W = W / 2 + U / 2 + 7 # ligne 6 : utilise u_{n+1} par erreurCorrection : il faut calculer $W$ en utilisant l'ancienne valeur de $U$, c'est-à-dire mettre à jour $W$ avant $U$, ou sauvegarder l'ancienne valeur :
# Option 1 : inverser les lignes 5 et 6
W = W / 2 + U / 2 + 7 # utilise l'ancienne valeur de U
U = U / 2 + 10
# Option 2 : sauvegarder l'ancienne valeur
old_U = U
U = U / 2 + 10
W = W / 2 + old_U / 2 + 7Question B3a. Montrer par récurrence que $w_n = 10n \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 11\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 34$.
Reformulation : $w_n = (10n + 11)\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 34$.
Initialisation ($n = 0$) :
$$(10\times 0 + 11)\left(\frac{1}{2}\right)^0 + 34 = 11 \times 1 + 34 = 45 = w_0. \checkmark$$
Vérification pour $n = 1$ :
$$(10 + 11)\left(\frac{1}{2}\right) + 34 = \frac{21}{2} + 34 = 10{,}5 + 34 = 44{,}5 = w_1. \checkmark$$
Hérédité : Supposons que pour un certain rang $n \geq 0$ :
$$w_n = (10n+11)\left(\frac{1}{2}\right)^n + 34.$$
Montrons que $w_{n+1} = (10(n+1)+11)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} + 34 = (10n+21)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} + 34$.
On utilise la relation de récurrence et le résultat $u_n = 20 + \dfrac{10}{2^n}$ :
$$w_{n+1} = \frac{w_n}{2} + \frac{u_n}{2} + 7$$
$$= \frac{(10n+11)\left(\frac{1}{2}\right)^n + 34}{2} + \frac{20 + \frac{10}{2^n}}{2} + 7$$
$$= \frac{(10n+11)}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^n + 17 + 10 + \frac{5}{2^n} + 7$$
$$= \frac{10n+11}{2} \cdot \frac{1}{2^n} + \frac{5}{2^n} + 34$$
$$= \left(\frac{10n+11}{2} + \frac{10}{2}\right) \cdot \frac{1}{2^n} + 34$$
$$= \frac{10n + 21}{2} \cdot \frac{1}{2^n} + 34 = (10n+21)\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} + 34. \checkmark$$
Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout $n \geq 0$ :
$$\boxed{w_n = (10n+11)\left(\frac{1}{2}\right)^n + 34.}$$
Question B3b. Limite de $(w_n)$ et interprétation.
On cherche $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} w_n$.
- $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} 10n \times \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$ (par les croissances comparées : toute suite géométrique de raison $< 1$ l'emporte sur toute suite polynomiale).
- $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} 11\times\left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$.
Donc :
$$\lim_{n \to +\infty} w_n = 0 + 0 + 34 = \boxed{34.}$$
Interprétation : La population modélisée par $(w_n)$ tend vers un état d'équilibre de $34$ unités à long terme. La suite est convergente.