Thème : Probabilités — dépistage du chikungunya (5 points)
Un test de dépistage du chikungunya présente les caractéristiques suivantes :
- $P_M(T) = 0{,}999$ : probabilité d'être positif sachant qu'on est malade (sensibilité).
- $P_{\bar{M}}(T) = 0{,}005$ : probabilité d'être positif sachant qu'on n'est pas malade (faux positif).
La population de La Réunion est de $750\,000$ habitants, dont $270\,000$ malades.
Question 1. Préciser $P_M(\bar{T})$.
$$P_M(\bar{T}) = 1 - P_M(T) = 1 - 0{,}999 = \boxed{0{,}001}.$$
Probabilité d'un résultat faux négatif : $0{,}1\%$.
Question 2. Calculer $P(M)$.
$$P(M) = \frac{270\,000}{750\,000} = \frac{270}{750} = \frac{9}{25} = \boxed{0{,}36}.$$
Donc $P(\bar{M}) = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$.
Question 3. Arbre de probabilités.
┌─ T P(M ∩ T) = 0,36 × 0,999 = 0,35964
M (0,36) ────────┤
└─ T̄ P(M ∩ T̄) = 0,36 × 0,001 = 0,00036
┌─ T P(M̄ ∩ T) = 0,64 × 0,005 = 0,0032
M̄ (0,64) ────────┤
└─ T̄ P(M̄ ∩ T̄) = 0,64 × 0,995 = 0,6368Question 4. Calculer $P(M \cap T)$.
$$P(M \cap T) = P(M) \times P_M(T) = 0{,}36 \times 0{,}999 = \boxed{0{,}35964}.$$
Question 5. Calculer $P(T)$.
Par la formule des probabilités totales (partition $\{M, \bar{M}\}$) :
$$P(T) = P(M \cap T) + P(\bar{M} \cap T) = 0{,}36 \times 0{,}999 + 0{,}64 \times 0{,}005.$$
$$P(T) = 0{,}35964 + 0{,}0032 = \boxed{0{,}36284}.$$
Question 6. Calculer $P_T(M)$.
Par la formule de Bayes :
$$P_T(M) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}35964}{0{,}36284}.$$
$$\boxed{P_T(M) \approx 0{,}9912.}$$
Question 7. Le test est-il fiable ?
La valeur prédictive positive du test est $P_T(M) \approx 0{,}9912 = 99{,}12\%$.
Puisque $P_T(M) \approx 99{,}1\% > 95\%$, si le seuil de fiabilité est fixé à $95\%$, le test est fiable dans le contexte de La Réunion fin 2005. $\checkmark$
Explication : La forte prévalence de la maladie ($36\%$ de la population) fait que les résultats positifs correspondent presque tous à de vrais malades.
On suppose maintenant que la proportion de malades dans la population est $p$ ($0 < p \leq 1$). On a donc $P(M) = p$ et $P(\bar{M}) = 1 - p$.
Question B1. Exprimer $P(T)$ en fonction de $p$.
$$P(T) = P(M) \times P_M(T) + P(\bar{M}) \times P_{\bar{M}}(T) = 0{,}999\,p + 0{,}005(1-p).$$
$$P(T) = 0{,}999p + 0{,}005 - 0{,}005p = \boxed{0{,}994p + 0{,}005.}$$
Question B2. Exprimer $P_T(M)$ en fonction de $p$ et simplifier.
$$P_T(M) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}999\,p}{0{,}994p + 0{,}005}.$$
En multipliant numérateur et dénominateur par $1000$ :
$$\boxed{P_T(M) = \frac{999p}{994p + 5}.}$$
Question B3. Pour quelles valeurs de $p$ le test est-il fiable ($P_T(M) > 0{,}95$) ?
$$\frac{999p}{994p + 5} > 0{,}95.$$
Puisque $994p + 5 > 0$, on multiplie des deux côtés :
$$999p > 0{,}95\,(994p + 5) = 944{,}3p + 4{,}75.$$
$$999p - 944{,}3p > 4{,}75 \iff 54{,}7p > 4{,}75 \iff p > \frac{4{,}75}{54{,}7} \approx 0{,}0868.$$
Conclusion : Le test est fiable si et seulement si la prévalence dépasse environ $\boxed{8{,}7\%}$.
On reprend $p = 0{,}36$. On choisit $n$ personnes au hasard dans la population. Soit $X$ le nombre de malades parmi les $n$ personnes choisies.
$X \sim \mathcal{B}(n,\, 0{,}36)$.
Question C1. Déterminer le plus petit $n$ tel que $P(X \geq 1) \geq 0{,}99$.
$$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - 0{,}36)^n = 1 - (0{,}64)^n.$$
On veut :
$$1 - (0{,}64)^n \geq 0{,}99 \iff (0{,}64)^n \leq 0{,}01.$$
On passe au logarithme (et $\ln(0{,}64) < 0$, donc l'inégalité change de sens lors de la division) :
$$n \times \ln(0{,}64) \leq \ln(0{,}01) \iff n \geq \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}64)}.$$
Calcul numérique :
$$\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}64)} = \frac{-4{,}6052}{-0{,}4463} \approx 10{,}32.$$
Donc $n \geq 10{,}32$, soit $n \geq \boxed{11}$.
Vérification :
- $P(X=0)$ pour $n=10$ : $(0{,}64)^{10} \approx 0{,}0115 > 0{,}01$ donc $P(X\geq 1) \approx 0{,}9885 < 0{,}99$. $\times$
- $P(X=0)$ pour $n=11$ : $(0{,}64)^{11} \approx 0{,}0074 < 0{,}01$ donc $P(X\geq 1) \approx 0{,}9926 > 0{,}99$. $\checkmark$
Conclusion : Il faut choisir au moins $11$ personnes pour avoir au moins $99\%$ de chances de trouver au moins un malade dans l'échantillon.