Thème : Analyse — étude de $f(x) = \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$ (5 points)
On pose, pour $x > 0$ :
$$f(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}, \qquad g(x) = e^{\sqrt{x}}.$$
Par la règle de composition ($g = e^u$ avec $u = \sqrt{x}$) :
$$g'(x) = e^{\sqrt{x}} \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} = f(x). \checkmark$$
On écrit $f(x) = \dfrac{g(x)}{2\sqrt{x}}$. On applique la règle du quotient, en notant que :
- $(g(x))' = g'(x) = f(x) = \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$.
- $\bigl(2\sqrt{x}\bigr)' = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$.
$$f'(x) = \frac{g'(x) \cdot 2\sqrt{x} - g(x) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}}}{\left(2\sqrt{x}\right)^2} = \frac{\dfrac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} \cdot 2\sqrt{x} - \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}{4x} = \frac{e^{\sqrt{x}} - \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}{4x}.$$
On factorise par $e^{\sqrt{x}}$ :
$$f'(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}\!\left(1 - \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)}{4x} = \frac{e^{\sqrt{x}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}}{4x} = \frac{e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)}{4x\sqrt{x}}. \checkmark$$
Quand $x \to 0^+$ : $\sqrt{x} \to 0^+$, donc $e^{\sqrt{x}} \to e^0 = 1$, et $2\sqrt{x} \to 0^+$.
$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{0^+} = +\infty.$$
Interprétation géométrique : La droite $x = 0$ (axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}_f$.
Quand $x \to +\infty$ : $\sqrt{x} \to +\infty$, donc $e^{\sqrt{x}} \to +\infty$, et $2\sqrt{x} \to +\infty$.
On compare les croissances : l'exponentielle l'emporte sur tout polynôme ou racine.
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} = +\infty.$$
(Changement de variable $t = \sqrt{x} \to +\infty$ : $f = \dfrac{e^t}{2t} \to +\infty$ par croissances comparées.)
$$f'(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)}{4x\sqrt{x}}.$$
- $e^{\sqrt{x}} > 0$ pour tout $x > 0$.
- $4x\sqrt{x} > 0$ pour tout $x > 0$.
- Signe de $f'$ = signe de $(\sqrt{x} - 1)$.
$$\sqrt{x} - 1 < 0 \iff \sqrt{x} < 1 \iff x < 1.$$ $$\sqrt{x} - 1 > 0 \iff x > 1.$$
Tableau de variations :
| $x$ | $0^+$ | | $1$ | | $+\infty$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $f'(x)$ | | $-$ | $0$ | $+$ | | | $f(x)$ | $+\infty$ | $\searrow$ | $\dfrac{e}{2}$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |
La fonction $f$ admet un minimum global en $x = 1$ :
$$f(1) = \frac{e^{\sqrt{1}}}{2\sqrt{1}} = \frac{e}{2} \approx 1{,}359.$$
- $f(1) = \dfrac{e}{2} \approx 1{,}36 < 2$.
- $\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty > 2$.
- $f$ est continue et strictement croissante sur $[1\,;\,+\infty[$.
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique $\alpha \in ]1\,;\,+\infty[$ tel que $f(\alpha) = 2$.
Encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près :
- $f(3{,}5) = \dfrac{e^{\sqrt{3{,}5}}}{2\sqrt{3{,}5}} \approx \dfrac{e^{1{,}871}}{3{,}742} \approx \dfrac{6{,}49}{3{,}74} \approx 1{,}74 < 2$.
- $f(4) = \dfrac{e^{2}}{2\times 2} = \dfrac{e^2}{4} \approx \dfrac{7{,}389}{4} \approx 1{,}85 < 2$.
- $f(4{,}5) \approx \dfrac{e^{2{,}121}}{4{,}243} \approx \dfrac{8{,}34}{4{,}24} \approx 1{,}97 < 2$.
- $f(4{,}8) \approx \dfrac{e^{2{,}191}}{4{,}382} \approx \dfrac{8{,}95}{4{,}38} \approx 2{,}04 > 2$.
Donc $\alpha \in ]4{,}5\,;\,4{,}8[$, et à $10^{-1}$ près : $\boxed{\alpha \approx 4{,}7}$.
On a montré en 1a que $g'(x) = f(x)$, donc $g$ est une primitive de $f$.
$$I = \int_1^2 f(x)\,dx = \bigl[g(x)\bigr]_1^2 = g(2) - g(1) = e^{\sqrt{2}} - e^{\sqrt{1}} = \boxed{e^{\sqrt{2}} - e}.$$
Valeur numérique : $e^{\sqrt{2}} - e \approx 4{,}113 - 2{,}718 \approx 1{,}395$.
Puisque $f(x) > 0$ sur $[1\,;\,2]$, l'intégrale $I = e^{\sqrt{2}} - e$ représente l'aire (en unités d'aire) de la région délimitée par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses, et les droites verticales $x = 1$ et $x = 2$.
On repart de :
$$f'(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)}{4x\sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)}{4x^{3/2}}.$$
Posons $X = \sqrt{x}$ ($x = X^2$, $x > 0 \iff X > 0$). On obtient après dérivation (calcul complet par règle du quotient ou produit) :
$$f''(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}\bigl(x - 3\sqrt{x} + 3\bigr)}{8x^2\sqrt{x}}.$$
Signe du trinôme $x - 3\sqrt{x} + 3$ : posons $X = \sqrt{x}$ :
$$X^2 - 3X + 3.$$
Discriminant : $\Delta = 9 - 12 = -3 < 0$.
Comme le coefficient du terme dominant est $1 > 0$ et $\Delta < 0$, le trinôme $X^2 - 3X + 3 > 0$ pour tout $X \in \mathbb{R}$, donc en particulier pour tout $X > 0$.
Ainsi $x - 3\sqrt{x} + 3 > 0$ pour tout $x > 0$. $\checkmark$
- $e^{\sqrt{x}} > 0$ pour tout $x > 0$.
- $8x^2\sqrt{x} > 0$ pour tout $x > 0$.
- $x - 3\sqrt{x} + 3 > 0$ pour tout $x > 0$ (montré en 5a).
Donc $f''(x) > 0$ pour tout $x > 0$.
Conclusion : $f$ est strictement convexe sur $]0\,;\,+\infty[$.
Interprétation : La courbe $\mathcal{C}_f$ est entièrement au-dessus de ses tangentes. Il n'y a pas de point d'inflexion.