Thème : Suite récurrente — médicament, Python (5 points)
Un patient prend un médicament régulièrement. La quantité de médicament (en mL) dans son organisme après la $n$-ième prise vérifie :
$$u_1 = 2, \qquad u_{n+1} = 2 + 0{,}8\,u_n.$$
Question 1. Calculer $u_2$.
$$u_2 = 2 + 0{,}8 \times u_1 = 2 + 0{,}8 \times 2 = 2 + 1{,}6 = \boxed{3{,}6 \text{ mL}}.$$
Question 2. Montrer par récurrence que $u_n = 10 - 8 \times (0{,}8)^{n-1}$ pour tout $n \geq 1$.
Initialisation : Pour $n = 1$ :
$$10 - 8 \times (0{,}8)^{0} = 10 - 8 \times 1 = 2 = u_1. \checkmark$$
Hérédité : Supposons que $u_n = 10 - 8 \times (0{,}8)^{n-1}$ pour un certain rang $n \geq 1$. Montrons que $u_{n+1} = 10 - 8 \times (0{,}8)^{n}$.
$$u_{n+1} = 2 + 0{,}8\,u_n = 2 + 0{,}8 \times \bigl(10 - 8\times(0{,}8)^{n-1}\bigr)$$
$$= 2 + 8 - 8 \times 0{,}8 \times (0{,}8)^{n-1} = 10 - 8 \times (0{,}8)^{n}. \checkmark$$
Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout $n \geq 1$ :
$$\boxed{u_n = 10 - 8 \times (0{,}8)^{n-1}.}$$
Question 3. Limite de $(u_n)$.
Puisque $|0{,}8| < 1$, on a $\lim_{n \to +\infty}(0{,}8)^{n-1} = 0$. Donc :
$$\lim_{n \to +\infty} u_n = 10 - 8 \times 0 = \boxed{10 \text{ mL}.}$$
Interprétation médicale : À long terme, la quantité de médicament dans l'organisme se stabilise et tend vers $10$ mL. C'est la dose d'équilibre du traitement.
Question 4. Peut-on avoir $u_N \geq 10$ ?
$$u_N \geq 10 \iff 10 - 8\times(0{,}8)^{N-1} \geq 10 \iff -8\times(0{,}8)^{N-1} \geq 0.$$
Or $(0{,}8)^{N-1} > 0$ pour tout $N$, donc $-8\times(0{,}8)^{N-1} < 0$. L'inégalité est impossible.
Conclusion : La quantité de médicament reste strictement inférieure à $10$ mL pour toute prise $N$.
Question 5. Trouver le premier rang $N$ tel que $u_N > 9$.
$$u_N > 9 \iff 10 - 8\times(0{,}8)^{N-1} > 9 \iff 8\times(0{,}8)^{N-1} < 1 \iff (0{,}8)^{N-1} < \frac{1}{8}.$$
On applique le logarithme (base quelconque, ici logarithme naturel). Attention : $\ln(0{,}8) < 0$, donc l'inégalité change de sens.
$$\ln\bigl((0{,}8)^{N-1}\bigr) < \ln\!\left(\frac{1}{8}\right) \iff (N-1)\ln(0{,}8) < -\ln 8.$$
En divisant par $\ln(0{,}8) < 0$ :
$$N - 1 > \frac{-\ln 8}{\ln(0{,}8)} = \frac{\ln 8}{-\ln(0{,}8)} = \frac{3\ln 2}{\ln(5/4)}.$$
Calcul numérique :
$$\frac{3\ln 2}{\ln(1{,}25)} = \frac{3 \times 0{,}6931}{0{,}2231} \approx \frac{2{,}0794}{0{,}2231} \approx 9{,}32.$$
Donc $N - 1 > 9{,}32$, soit $N - 1 \geq 10$, c'est-à-dire $N \geq \boxed{11}$.
Vérification : $u_{10} = 10 - 8\times(0{,}8)^9 \approx 10 - 8\times 0{,}1342 \approx 10 - 1{,}07 = 8{,}93 < 9$.
$u_{11} = 10 - 8\times(0{,}8)^{10} \approx 10 - 8\times 0{,}1074 \approx 10 - 0{,}859 = 9{,}14 > 9$. $\checkmark$
Interprétation : C'est à partir de la 11ème prise que la quantité de médicament dans l'organisme dépasse $9$ mL.
On note $S_n = \dfrac{u_1 + u_2 + \cdots + u_n}{n}$ la quantité moyenne de médicament.
Question B1. Calculer $S_2$.
$$S_2 = \frac{u_1 + u_2}{2} = \frac{2 + 3{,}6}{2} = \frac{5{,}6}{2} = \boxed{2{,}8 \text{ mL}.}$$
Question B2. Calculer $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} u_k$.
$$\sum_{k=1}^{n} u_k = \sum_{k=1}^{n} \bigl(10 - 8\times(0{,}8)^{k-1}\bigr) = 10n - 8\sum_{k=1}^{n}(0{,}8)^{k-1}.$$
La somme $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(0{,}8)^{k-1} = \sum_{j=0}^{n-1}(0{,}8)^{j}$ est une somme géométrique de premier terme $1$, raison $0{,}8$ :
$$\sum_{j=0}^{n-1}(0{,}8)^{j} = \frac{1 - (0{,}8)^n}{1 - 0{,}8} = \frac{1-(0{,}8)^n}{0{,}2} = 5\bigl(1-(0{,}8)^n\bigr).$$
Donc :
$$\sum_{k=1}^{n} u_k = 10n - 8 \times 5\bigl(1-(0{,}8)^n\bigr) = 10n - 40 + 40\times(0{,}8)^n. \checkmark$$
Question B3. Expression de $S_n$ et limite.
$$S_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} u_k = \frac{10n - 40 + 40\times(0{,}8)^n}{n} = 10 - \frac{40}{n} + \frac{40\times(0{,}8)^n}{n}.$$
Limite :
- $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{40}{n} = 0$.
- $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{40\times(0{,}8)^n}{n} = 0$ (suite géométrique de raison $|0{,}8|<1$ divisée par $n$).
$$\lim_{n\to+\infty} S_n = 10 - 0 + 0 = \boxed{10 \text{ mL}.}$$
Interprétation : La quantité moyenne de médicament par prise converge également vers $10$ mL, qui est la dose d'équilibre.
Question B4. Interprétation de la fonction Python mystere(9).
La fonction calcule successivement $S_1, S_2, S_3, \ldots$ et renvoie le premier entier $n$ tel que $S_n \geq 9$.
mystere(9) retourne donc le rang minimal à partir duquel la quantité moyenne de médicament atteint ou dépasse $9$ mL.
Question B5. Montrer que la valeur renvoyée par mystere(9) est strictement supérieure à $10$.
On doit montrer que $S_{10} < 9$.
$$S_{10} = 10 - \frac{40}{10} + \frac{40\times(0{,}8)^{10}}{10} = 10 - 4 + 4\times(0{,}8)^{10}.$$
$(0{,}8)^{10} = 0{,}8^{10} \approx 0{,}1074$.
$$S_{10} \approx 10 - 4 + 4 \times 0{,}1074 = 6 + 0{,}43 = 6{,}43 < 9.$$
Donc $S_{10} < 9$, ce qui signifie que la fonction mystere(9) ne s'arrête pas avant ou à $n = 10$.
Ainsi, la valeur renvoyée est strictement supérieure à $10$. $\checkmark$
Remarque : On sait que $S_n < 10$ pour tout $n$ (car $S_n - 10 = -\dfrac{40}{n} + \dfrac{40(0{,}8)^n}{n} = \dfrac{40\bigl((0{,}8)^n - 1\bigr)}{n} < 0$), mais $S_n \to 10$, donc la condition $S_n \geq 9$ finira par être atteinte pour un certain rang $n > 10$.