Thème : Probabilités — tests de conformité, loi binomiale, inégalité de Bienaymé-Tchebychev (5 points)
Un jouet subit deux tests de contrôle : un test de fabrication (noté $F$ : réussite) et un test de sécurité (noté $S$ : réussite). On sait que :
$$P(F) = 0{,}95, \qquad P_{F}(S) = 0{,}98, \qquad P(\bar{F} \cap \bar{S}) = 0{,}01.$$
Question 1. Donner les probabilités $P(F)$ et $P_{F}(S)$.
$$\boxed{P(F) = 0{,}95, \qquad P_{F}(S) = 0{,}98.}$$
Question 2a. Arbre de probabilités.
On pose $P(\bar{F}) = 1 - 0{,}95 = 0{,}05$.
┌─ S P(F ∩ S) = 0,95 × 0,98 = 0,931
F (0,95) ───────┤
└─ S̄ P(F ∩ S̄) = 0,95 × 0,02 = 0,019
┌─ S P(F̄ ∩ S) = 0,05 × P_Fbar(S)
F̄ (0,05) ──────┤
└─ S̄ P(F̄ ∩ S̄) = 0,01Question 2b. Montrer que $P_{\bar{F}}(\bar{S}) = 0{,}2$.
On utilise la définition des probabilités conditionnelles :
$$P(\bar{F} \cap \bar{S}) = P(\bar{F}) \times P_{\bar{F}}(\bar{S}).$$
Soit :
$$0{,}01 = 0{,}05 \times P_{\bar{F}}(\bar{S}) \Rightarrow P_{\bar{F}}(\bar{S}) = \frac{0{,}01}{0{,}05} = \boxed{0{,}2}.$$
En déduire : $P_{\bar{F}}(S) = 1 - P_{\bar{F}}(\bar{S}) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$.
Question 3. Calculer $P(F \cap S)$.
$$P(F \cap S) = P(F) \times P_F(S) = 0{,}95 \times 0{,}98 = \boxed{0{,}931}.$$
Question 4. Calculer $P(S)$.
Par la formule des probabilités totales (partition $\{F, \bar{F}\}$) :
$$P(S) = P(F \cap S) + P(\bar{F} \cap S).$$
On calcule d'abord :
$$P(\bar{F} \cap S) = P(\bar{F}) \times P_{\bar{F}}(S) = 0{,}05 \times 0{,}8 = 0{,}04.$$
Donc :
$$P(S) = 0{,}931 + 0{,}04 = \boxed{0{,}971}.$$
Environ $97{,}1\%$ des jouets réussissent le test de sécurité.
Question 5. Calculer $P_S(F)$.
Par la formule de Bayes :
$$P_S(F) = \frac{P(F \cap S)}{P(S)} = \frac{0{,}931}{0{,}971} \approx \boxed{0{,}9588}.$$
Interprétation : Si un jouet réussit le test de sécurité, la probabilité qu'il ait aussi réussi le test de fabrication est d'environ $95{,}9\%$.
On contrôle un lot de $n$ jouets. Chaque jouet réussit le test de sécurité avec probabilité $p = P(S) = 0{,}971$...
*Remarque : dans cette partie, on se concentre sur la conformité globale d'un jouet (le jouet est conforme s'il réussit les deux tests). On note $p = 0{,}95$ la probabilité qu'un jouet soit conforme (test de fabrication).*
Soit $S_n$ le nombre de jouets conformes parmi $n$ jouets testés indépendamment.
$$S_n \sim \mathcal{B}(n,\, 0{,}95).$$
Question B1. Espérance et variance de $S_n$.
$$E(S_n) = n \times 0{,}95 = 0{,}95n.$$
$$V(S_n) = n \times 0{,}95 \times 0{,}05 = 0{,}0475\,n.$$
Question B2. Pour $n = 150$ :
$$P(S_{150} = 145) = \binom{150}{145} (0{,}95)^{145} (0{,}05)^{5}.$$
Calcul détaillé :
$$\binom{150}{145} = \binom{150}{5} = \frac{150 \times 149 \times 148 \times 147 \times 146}{5!} = \frac{150 \times 149 \times 148 \times 147 \times 146}{120} = 591\,600\,030.$$
Valeur numérique (calculatrice) :
$$P(S_{150} = 145) \approx 0{,}0845 \approx 8{,}45\%.$$
Interprétation : Il y a environ $8{,}45\%$ de chances d'obtenir exactement $145$ jouets conformes sur $150$.
Pour $P(S_{150} \geq 141)$ (au moins $94\%$ de conformité) : valeur obtenue à la calculatrice $\approx 0{,}933$.
Question B3. Fréquence de conformité $F_n = S_n / n$.
Espérance :
$$E(F_n) = \frac{E(S_n)}{n} = \frac{0{,}95\,n}{n} = 0{,}95. \checkmark$$
Variance :
$$V(F_n) = \frac{V(S_n)}{n^2} = \frac{0{,}0475\,n}{n^2} = \frac{0{,}0475}{n}. \checkmark$$
Application de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
L'inégalité s'énonce : pour tout $\varepsilon > 0$,
$$P\!\left(\left|F_n - E(F_n)\right| \geq \varepsilon\right) \leq \frac{V(F_n)}{\varepsilon^2}.$$
Avec $\varepsilon = 0{,}02$ :
$$P\!\left(|F_n - 0{,}95| \geq 0{,}02\right) \leq \frac{0{,}0475/n}{(0{,}02)^2} = \frac{0{,}0475}{0{,}0004\,n} = \frac{118{,}75}{n}.$$
On veut $P(|F_n - 0{,}95| < 0{,}02) \geq 0{,}96$, soit $P(|F_n - 0{,}95| \geq 0{,}02) \leq 0{,}04$.
Il suffit d'imposer :
$$\frac{118{,}75}{n} \leq 0{,}04 \Rightarrow n \geq \frac{118{,}75}{0{,}04} = 2\,968{,}75.$$
Donc $n \geq \boxed{2\,969}$.
Conclusion : Il faut contrôler au moins $2\,969$ jouets pour que la fréquence de conformité soit dans l'intervalle $]0{,}93\,;\,0{,}97[$ avec une probabilité d'au moins $96\%$.