Thème : Suites — Suite récurrente d'ordre 2, suite géométrique auxiliaire, démonstration par récurrence, convergence
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$, $u_1 = \dfrac{1}{2}$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
$$u_{n+2} = u_{n+1} - \frac{1}{4} u_n$$
Question. Compléter le tableau et conjecturer la limite.
On calcule les premiers termes à partir de la relation de récurrence :
$$u_2 = u_1 - \frac{1}{4} u_0 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \times 0 = \frac{1}{2}$$
$$u_3 = u_2 - \frac{1}{4} u_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{4}{8} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$$
$$u_4 = u_3 - \frac{1}{4} u_2 = \frac{3}{8} - \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$
$$u_5 = u_4 - \frac{1}{4} u_3 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \times \frac{3}{8} = \frac{1}{4} - \frac{3}{32} = \frac{8}{32} - \frac{3}{32} = \frac{5}{32}$$
| $n$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |-----|---|---|---|---|---|---| | $u_n$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{3}{8}$ | $\dfrac{1}{4}$ | $\dfrac{5}{32}$ |
Conjecture : Les termes semblent décroître et se rapprocher de $0$. On conjecture que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.
Question 1. Calculer $w_0$.
$$w_0 = u_1 - \frac{1}{2} u_0 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \times 0 = \frac{1}{2}$$
$$\boxed{w_0 = \frac{1}{2}}$$
Question 2. Montrer que $(w_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
On calcule $w_{n+1}$ en utilisant la définition $w_{n+1} = u_{n+2} - \dfrac{1}{2} u_{n+1}$ et la relation de récurrence $u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4} u_n$ :
$$w_{n+1} = u_{n+2} - \frac{1}{2} u_{n+1} = \left(u_{n+1} - \frac{1}{4} u_n\right) - \frac{1}{2} u_{n+1}$$
$$= u_{n+1} - \frac{1}{2} u_{n+1} - \frac{1}{4} u_n$$
$$= \frac{1}{2} u_{n+1} - \frac{1}{4} u_n$$
$$= \frac{1}{2} \left(u_{n+1} - \frac{1}{2} u_n\right)$$
$$= \frac{1}{2} w_n$$
Donc $w_{n+1} = \dfrac{1}{2} w_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ : ($(w_n$) est une suite géométrique de raison $q = \dfrac{1}{2}$) et de premier terme $w_0 = \dfrac{1}{2}$.
Question 3. Exprimer $w_n$ en fonction de $n$.
La formule générale d'une suite géométrique de premier terme $w_0$ et de raison $q$ est $w_n = w_0 \cdot q^n$ :
$$w_n = \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$$
$$\boxed{w_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} = \frac{1}{2^{n+1}}}$$
Question 4. En déduire une relation entre $u_{n+1}$ et $u_n$.
Par définition de $w_n$ :
$$w_n = u_{n+1} - \frac{1}{2} u_n = \frac{1}{2^{n+1}}$$
Donc :
$$\boxed{u_{n+1} = \frac{1}{2} u_n + \frac{1}{2^{n+1}}}$$
Question 5. Démontrer par récurrence que $u_n = \dfrac{n}{2^n}$ pour tout $n \geq 1$.
Initialisation : Pour $n = 1$ :
$$u_1 = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2} \checkmark$$
La formule est vraie au rang $n = 1$.
Hérédité : Supposons que $u_n = \dfrac{n}{2^n}$ pour un certain $n \geq 1$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $u_{n+1} = \dfrac{n+1}{2^{n+1}}$.
D'après la relation établie en question 4 :
$$u_{n+1} = \frac{1}{2} u_n + \frac{1}{2^{n+1}}$$
On substitue l'hypothèse de récurrence $u_n = \dfrac{n}{2^n}$ :
$$u_{n+1} = \frac{1}{2} \times \frac{n}{2^n} + \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{n}{2^{n+1}} + \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{n+1}{2^{n+1}}$$
La formule est vraie au rang $n+1$.
Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout $n \geq 1$ :
$$\boxed{u_n = \frac{n}{2^n}}$$
Question 1. Étudier les variations de $(u_n)$ pour $n \geq 1$.
On calcule la différence $u_{n+1} - u_n$ pour $n \geq 1$ :
$$u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{2^{n+1}} - \frac{n}{2^n} = \frac{n+1}{2^{n+1}} - \frac{2n}{2^{n+1}} = \frac{(n+1) - 2n}{2^{n+1}} = \frac{1 - n}{2^{n+1}}$$
Pour $n \geq 1$ : $1 - n \leq 0$ (et le dénominateur $2^{n+1} > 0$).
Donc $u_{n+1} - u_n = \dfrac{1-n}{2^{n+1}} \leq 0$ pour tout $n \geq 1$.
$(u_n)$ est décroissante à partir du rang $n = 1$ (strictement décroissante pour $n \geq 2$, car $1 - n < 0$).
Vérification : $u_1 = u_2 = \dfrac{1}{2}$ : égaux au rang 1, puis décroissants.
$$\boxed{(u_n) \text{ est décroissante pour } n \geq 2}$$
Question 2. Montrer que $(u_n)$ est convergente.
Pour tout $n \geq 1$ :
$$u_n = \frac{n}{2^n} \geq 0$$
Donc $(u_n)$ est minorée par $0$. De plus, d'après la question 1, $(u_n)$ est décroissante (à partir du rang 1).
Par le théorème de convergence monotone (toute suite monotone et bornée converge) :
$$\boxed{(u_n) \text{ est convergente}}$$
Question 3. Déterminer la limite de $(u_n)$.
On peut utiliser plusieurs approches.
Méthode 1 — Calcul direct :
Par les croissances comparées, pour tout $\alpha > 0$ et tout $k \in \mathbb{N}$ :
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{n^k}{(1+\alpha)^n} = 0$$
Ici $u_n = \dfrac{n}{2^n} = \dfrac{n}{(1+1)^n}$ avec $\alpha = 1$ et $k = 1$. Donc :
$$\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{2^n} = 0$$
Méthode 2 — Via la relation de récurrence :
Si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors en passant à la limite dans $u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4} u_n$ :
$$\ell = \ell - \frac{1}{4} \ell \implies \frac{1}{4} \ell = 0 \implies \ell = 0$$
$$\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = 0}$$
La conjecture de la Partie A est donc confirmée.