Thème : Probabilités — Probabilités conditionnelles, loi binomiale, formule de Bayes
Données de l'énoncé :
- $P(C) = 0{,}02$ : probabilité qu'une personne soit contaminée par le virus.
- $P(V) = 0{,}90$ : probabilité qu'une personne soit vaccinée.
- $P_{C}(V) = 0{,}62$ : probabilité d'être vacciné sachant qu'on est contaminé.
On note $C$ l'événement « être contaminé », $V$ l'événement « être vacciné », $\bar{C}$ et $\bar{V}$ leurs complémentaires.
Question 1. Lire les données de probabilité dans l'énoncé.
En lecture directe :
$$\boxed{P(C) = 0{,}02 \qquad P(V) = 0{,}90 \qquad P_{C}(V) = 0{,}62}$$
Question 2a. Calculer $P(C \cap V)$.
Par définition de la probabilité conditionnelle :
$$P(C \cap V) = P(C) \times P_{C}(V) = 0{,}02 \times 0{,}62 = \mathbf{0{,}0124}$$
$$\boxed{P(C \cap V) = 0{,}0124}$$
Question 2b. Calculer $P(\bar{C} \cap V)$.
Les événements $C$ et $\bar{C}$ forment une partition, donc :
$$P(V) = P(C \cap V) + P(\bar{C} \cap V)$$
On en déduit :
$$P(\bar{C} \cap V) = P(V) - P(C \cap V) = 0{,}90 - 0{,}0124 = \mathbf{0{,}8876}$$
$$\boxed{P(\bar{C} \cap V) = 0{,}8876}$$
Question 3. Compléter l'arbre de probabilités.
On calcule d'abord $P_{\bar{C}}(V)$ :
$$P_{\bar{C}}(V) = \frac{P(\bar{C} \cap V)}{P(\bar{C})} = \frac{0{,}8876}{1 - 0{,}02} = \frac{0{,}8876}{0{,}98} \approx 0{,}9057$$
Donc $P_{\bar{C}}(\bar{V}) = 1 - 0{,}9057 \approx 0{,}0943$.
L'arbre pondéré complet :
$$ \begin{array}{ll} C \ (0{,}02) & \begin{cases} V \quad (0{,}62) \\ \bar{V} \quad (0{,}38) \end{cases} \\[6pt] \bar{C} \ (0{,}98) & \begin{cases} V \quad (\approx 0{,}9057) \\ \bar{V} \quad (\approx 0{,}0943) \end{cases} \end{array} $$
Vérification :
$$P(V) = P(C) \cdot P_{C}(V) + P(\bar{C}) \cdot P_{\bar{C}}(V) = 0{,}02 \times 0{,}62 + 0{,}98 \times 0{,}9057 \approx 0{,}0124 + 0{,}8876 = 0{,}90 \checkmark$$
Question 4. Calculer $P_{V}(C)$ et interpréter.
On applique la formule de Bayes :
$$P_{V}(C) = \frac{P(C \cap V)}{P(V)} = \frac{0{,}0124}{0{,}90} \approx 0{,}01378$$
$$\boxed{P_{V}(C) \approx 0{,}0138}$$
Interprétation : Parmi les personnes vaccinées, environ $1{,}38\,\%$ ont été contaminées par le virus. Autrement dit, le fait d'être vacciné est associé à une très faible probabilité d'être contaminé.
Question 5a. Parmi les non contaminés, les vaccinés sont-ils plus de $10$ fois plus nombreux que les non vaccinés ?
Parmi les non contaminés ($\bar{C}$), on compare $P_{\bar{C}}(V)$ et $P_{\bar{C}}(\bar{V})$ :
$$\frac{P_{\bar{C}}(V)}{P_{\bar{C}}(\bar{V})} = \frac{0{,}9057}{0{,}0943} \approx 9{,}6$$
Le rapport est environ $9{,}6 < 10$.
$$\boxed{\textbf{Affirmation 5a : FAUSSE} \quad \text{(rapport} \approx 9{,}6 < 10\text{)}}$$
Question 5b. Vérifier si $P_{V}(\bar{C}) > 0{,}98$.
$$P_{V}(\bar{C}) = 1 - P_{V}(C) \approx 1 - 0{,}0138 = 0{,}9862$$
On compare : $0{,}9862 > 0{,}98$ — oui !
$$\boxed{\textbf{Affirmation 5b : VRAIE} \quad \left(P_{V}(\bar{C}) \approx 0{,}9862 > 0{,}98\right)}$$
Question 6a. Loi suivie par $X$ (nombre de personnes contaminées dans un groupe de $20$).
On choisit $20$ personnes indépendamment. Chacune est contaminée avec probabilité $P(C) = 0{,}02$, indépendamment des autres. On est dans le cadre d'un schéma de Bernoulli à $n = 20$ épreuves.
$$\boxed{X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}02)}$$
Question 6b. Calculer $P(X = 4)$.
La loi binomiale donne :
$$P(X = 4) = \binom{20}{4} \times (0{,}02)^4 \times (0{,}98)^{16}$$
On calcule chaque facteur :
$$\binom{20}{4} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4!} = \frac{116\,280}{24} = 4\,845$$
$$(0{,}02)^4 = (2 \times 10^{-2})^4 = 16 \times 10^{-8} = 1{,}6 \times 10^{-7}$$
$$(0{,}98)^{16} = e^{16 \ln(0{,}98)} \approx e^{16 \times (-0{,}02020)} \approx e^{-0{,}3232} \approx 0{,}7238$$
Donc :
$$P(X = 4) = 4\,845 \times 1{,}6 \times 10^{-7} \times 0{,}7238$$
$$= 4\,845 \times 1{,}158 \times 10^{-7}$$
$$\approx 5{,}61 \times 10^{-4}$$
$$\boxed{P(X = 4) \approx 5{,}6 \times 10^{-4} \approx 0{,}056\,\%}$$
Cet événement est très peu probable : dans un groupe de $20$ personnes, il est très rare d'observer exactement $4$ personnes contaminées quand le taux de contamination est de $2\,\%$.