Thème : Fonctions — Étude de $f(x) = xe^{-x} + 2x - 1$, intégration par parties, aire
On pose $f(x) = xe^{-x} + 2x - 1$ définie sur $\mathbb{R}$.
Question 1. Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
En $-\infty$ :
- $\lim_{x \to -\infty} xe^{-x}$ : quand $x \to -\infty$, $-x \to +\infty$, donc $e^{-x} \to +\infty$. Le produit $xe^{-x}$ est le produit d'un terme tendant vers $-\infty$ par un terme tendant vers $+\infty$ : $xe^{-x} \to -\infty$ (car $|x| \cdot e^{-x} \to +\infty$).
- $\lim_{x \to -\infty} (2x - 1) = -\infty$.
Donc :
$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty + (-\infty) = -\infty$$
En $+\infty$ :
- Par les croissances comparées, $\lim_{x \to +\infty} xe^{-x} = 0$.
- $\lim_{x \to +\infty} (2x - 1) = +\infty$.
Donc :
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 + (+\infty) = +\infty$$
$$\boxed{\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}$$
Question 2. Calculer $f'(x)$.
On dérive terme à terme, en utilisant la règle du produit pour $xe^{-x}$ :
$$(xe^{-x})' = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = (1-x)e^{-x}$$
Donc :
$$f'(x) = (1-x)e^{-x} + 2$$
$$\boxed{f'(x) = (1-x)e^{-x} + 2}$$
Question 3. Calculer $f''(x)$.
On dérive $f'(x) = (1-x)e^{-x} + 2$ :
$$\bigl[(1-x)e^{-x}\bigr]' = (1-x)' \cdot e^{-x} + (1-x) \cdot (e^{-x})'$$
$$= (-1)e^{-x} + (1-x)(-e^{-x})$$
$$= -e^{-x} - (1-x)e^{-x}$$
$$= e^{-x}\bigl[-1 - (1-x)\bigr] = e^{-x}(-1 - 1 + x) = (x-2)e^{-x}$$
Donc :
$$f''(x) = (x-2)e^{-x}$$
$$\boxed{f''(x) = (x-2)e^{-x}}$$
Question 4. Étudier la convexité de $f$.
Comme $e^{-x} > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, le signe de $f''(x) = (x-2)e^{-x}$ est celui de $(x-2)$ :
- $f''(x) < 0 \iff x < 2$ : $\mathcal{C}_f$ est concave sur $\left]-\infty\,;\,2\right[$.
- $f''(x) = 0 \iff x = 2$ : point d'inflexion en $x = 2$.
- $f''(x) > 0 \iff x > 2$ : $\mathcal{C}_f$ est convexe sur $\left]2\,;\,+\infty\right[$.
Coordonnées du point d'inflexion :
$$f(2) = 2e^{-2} + 4 - 1 = 2e^{-2} + 3$$
$$\boxed{I\!\left(2\,;\, 3 + 2e^{-2}\right) \text{ est le point d'inflexion}}$$
Question 5. Étudier les variations de $f'$.
$f'' = (x-2)e^{-x}$ :
- Pour $x < 2$ : $f''(x) < 0$, donc $f'$ est décroissante sur $\left]-\infty\,;\,2\right[$.
- Pour $x > 2$ : $f''(x) > 0$, donc $f'$ est croissante sur $\left]2\,;\,+\infty\right[$.
$f'$ admet donc un minimum en $x = 2$ :
$$f'(2) = (1-2)e^{-2} + 2 = -e^{-2} + 2 = 2 - \frac{1}{e^2}$$
Or $\dfrac{1}{e^2} \approx 0{,}135 < 2$, donc :
$$f'(2) = 2 - \frac{1}{e^2} > 0$$
Question 6. Montrer que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
D'après la question 5, le minimum de $f'$ sur $\mathbb{R}$ est $f'(2) = 2 - e^{-2} > 0$.
Donc $f'(x) \geq f'(2) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
$f'(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Question 7. Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$ et que $\alpha \in \left]0\,;\,1\right[$.
Existence et unicité : $f$ est continue (comme somme de fonctions continues) et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, avec $\lim_{x \to -\infty} f = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f = +\infty$. Par le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire sur les fonctions continues strictement monotones), $f$ s'annule en un unique point $\alpha$.
Localisation : On évalue $f$ en $0$ et $1$ :
$$f(0) = 0 \cdot e^0 + 0 - 1 = -1 < 0$$
$$f(1) = 1 \cdot e^{-1} + 2 - 1 = e^{-1} + 1 \approx 0{,}368 + 1 = 1{,}368 > 0$$
$f(0) < 0 < f(1)$ et $f$ est continue sur $[0\,;\,1]$, donc par le T.V.I., il existe $\alpha \in \left]0\,;\,1\right[$ tel que $f(\alpha) = 0$.
Encadrement plus précis :
$$f(0{,}3) = 0{,}3 e^{-0{,}3} + 0{,}6 - 1 \approx 0{,}3 \times 0{,}7408 - 0{,}4 \approx 0{,}2222 - 0{,}4 = -0{,}178 < 0$$
$$f(0{,}4) = 0{,}4 e^{-0{,}4} + 0{,}8 - 1 \approx 0{,}4 \times 0{,}6703 - 0{,}2 \approx 0{,}2681 - 0{,}2 = 0{,}068 > 0$$
Donc $\alpha \in \left]0{,}3\,;\,0{,}4\right[$.
$$\boxed{\alpha \in \left]0\,;\,1\right[ \quad (\text{précisément dans } \left]0{,}3\,;\,0{,}4\right[)}$$
Question 8. Étudier la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à la droite $\Delta : y = 2x - 1$.
On calcule la différence $f(x) - (2x - 1)$ :
$$f(x) - (2x - 1) = xe^{-x} + 2x - 1 - 2x + 1 = xe^{-x}$$
On étudie le signe de $xe^{-x}$ (sachant que $e^{-x} > 0$ toujours) :
- Si $x > 0$ : $xe^{-x} > 0 \implies \mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\Delta$.
- Si $x = 0$ : $xe^{-x} = 0 \implies \mathcal{C}_f$ et $\Delta$ se rejoignent au point $(0\,;\,-1)$.
- Si $x < 0$ : $xe^{-x} < 0 \implies \mathcal{C}_f$ est en-dessous de $\Delta$.
Conclusion : La droite $\Delta$ est tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $(0\,;\,-1)$. $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\Delta$ pour $x > 0$ et en-dessous pour $x < 0$.
Vérification : $f'(0) = (1-0)e^0 + 2 = 1 + 2 = 3 \neq 2$... Attention : la pente de $\Delta$ est $2$, et $f'(0) = 3 \neq 2$, donc $\Delta$ n'est pas la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $x=0$ au sens habituel. En revanche, $\Delta$ est une asymptote oblique en $-\infty$ car $f(x) - (2x-1) = xe^{-x} \to 0$ quand $x \to -\infty$.
$$\boxed{\mathcal{C}_f \text{ est au-dessus de } \Delta \text{ pour } x > 0, \text{ en-dessous pour } x < 0, \text{ et les coupe en } (0\,;\,-1)}$$
Question 1. Calculer $I_n$ par intégration par parties.
On pose $u = x$ et $v' = e^{-x}$, ce qui donne $u' = 1$ et $v = -e^{-x}$.
La formule d'intégration par parties est $\displaystyle\int_a^b u v'\,\mathrm{d}x = \bigl[uv\bigr]_a^b - \int_a^b u' v\,\mathrm{d}x$.
$$I_n = \bigl[x \cdot (-e^{-x})\bigr]_1^n - \int_1^n 1 \cdot (-e^{-x})\,\mathrm{d}x$$
$$= \bigl[-xe^{-x}\bigr]_1^n + \int_1^n e^{-x}\,\mathrm{d}x$$
$$= \bigl(-ne^{-n} + 1 \cdot e^{-1}\bigr) + \bigl[-e^{-x}\bigr]_1^n$$
$$= -ne^{-n} + e^{-1} + \bigl(-e^{-n} + e^{-1}\bigr)$$
$$= -ne^{-n} + e^{-1} - e^{-n} + e^{-1}$$
$$= 2e^{-1} - (n+1)e^{-n}$$
$$\boxed{I_n = \frac{2}{e} - (n+1)e^{-n}}$$
Question 2a. Exprimer l'aire du domaine $D_n$ délimité par $\mathcal{C}_f$, la droite $\Delta$ et les droites $x = 1$ et $x = n$.
D'après la question 8, $f(x) - (2x-1) = xe^{-x}$. Pour $x \in [1\,;\,n]$ ($x > 0$), $xe^{-x} > 0$, donc $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\Delta$. L'aire du domaine $D_n$ est :
$$\text{Aire}(D_n) = \int_1^n \bigl[f(x) - (2x-1)\bigr]\,\mathrm{d}x = \int_1^n xe^{-x}\,\mathrm{d}x = I_n$$
$$\boxed{\text{Aire}(D_n) = I_n = \frac{2}{e} - (n+1)e^{-n}}$$
Question 2b. Calculer $\lim_{n \to +\infty} I_n$.
Par les croissances comparées, $\lim_{n \to +\infty} ne^{-n} = 0$, donc aussi $\lim_{n \to +\infty} (n+1)e^{-n} = 0$.
$$\lim_{n \to +\infty} I_n = \frac{2}{e} - 0 = \frac{2}{e}$$
$$\boxed{\lim_{n \to +\infty} I_n = \frac{2}{e}}$$
Interprétation : L'aire du domaine délimité par $\mathcal{C}_f$, la droite $\Delta$, et les droites $x = 1$ et $x = +\infty$ est finie, égale à $\dfrac{2}{e} \approx 0{,}736$ unités d'aire.