Thème : Fonctions — Équations différentielles, intégration par parties, convexité, étude de fonction
Question. Identifier les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ parmi les représentations de $g$ et $g'$.
Analyse :
- $\mathcal{C}_1$ coupe l'axe des ordonnées en $(0\,;\,1)$, donc la fonction associée vérifie $f(0) = 1$.
- $\mathcal{C}_2$ coupe l'axe des ordonnées en $(0\,;\,2)$ et s'annule en $x = -2$ et $x = 1$.
La dérivée $g'$ s'annule aux extrema de $g$. La courbe $\mathcal{C}_2$ s'annule en deux points et coupe l'axe $Oy$ en une valeur non nulle : c'est compatible avec le comportement d'une dérivée. Donc :
- $\mathcal{C}_2$ est la courbe de $g'$ (elle s'annule aux extrema de $g$).
- $\mathcal{C}_1$ est la courbe de $g$.
Équation de la tangente à $\mathcal{C}_1$ en $x = 0$ :
$$g(0) = 1 \quad (\text{lecture sur } \mathcal{C}_1) \qquad g'(0) = 2 \quad (\text{lecture sur } \mathcal{C}_2)$$
L'équation de la tangente en $x = 0$ est :
$$y = g(0) + g'(0)(x - 0) = 1 + 2x$$
$$\boxed{y = 2x + 1}$$
Question 1. Vérifier que $f_0(x) = (x^2 + 3x)e^{-x}$ est solution de $(E)$.
On calcule $f_0'(x)$ en appliquant la règle de dérivation d'un produit :
$$f_0'(x) = (x^2 + 3x)' \cdot e^{-x} + (x^2 + 3x) \cdot (e^{-x})'$$
$$= (2x + 3)e^{-x} + (x^2 + 3x)(-e^{-x})$$
$$= \bigl[(2x + 3) - (x^2 + 3x)\bigr]e^{-x}$$
$$= (-x^2 - x + 3)e^{-x}$$
On vérifie que $f_0$ satisfait $(E)$, c'est-à-dire $f_0' + f_0 = (2x+3)e^{-x}$ :
$$f_0'(x) + f_0(x) = (-x^2 - x + 3)e^{-x} + (x^2 + 3x)e^{-x}$$
$$= \bigl[(-x^2 - x + 3) + (x^2 + 3x)\bigr]e^{-x}$$
$$= (2x + 3)e^{-x} \checkmark$$
$f_0$ est bien une solution particulière de $(E)$.
Question 2. Résoudre l'équation homogène associée $y' + y = 0$.
L'équation homogène $y' + y = 0$ s'écrit $y' = -y$, soit $y' + 1 \cdot y = 0$.
C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants de la forme $y' + ay = 0$ avec $a = 1$.
Toutes les solutions sont de la forme :
$$\boxed{y = Ce^{-x}, \quad C \in \mathbb{R}}$$
Question 3. Donner la solution générale de $(E)$.
La solution générale d'une équation différentielle linéaire du premier ordre est la somme d'une solution particulière $f_0$ et de la solution générale de l'équation homogène :
$$y = f_0(x) + Ce^{-x} = (x^2 + 3x)e^{-x} + Ce^{-x} = \bigl(x^2 + 3x + C\bigr)e^{-x}$$
$$\boxed{y(x) = (x^2 + 3x + C)e^{-x}, \quad C \in \mathbb{R}}$$
Question 4. Trouver la solution $g$ de $(E)$ dont la courbe passe par le point $(0\,;\,1)$.
On sait que $g(x) = (x^2 + 3x + C)e^{-x}$. La condition $g(0) = 1$ donne :
$$g(0) = (0 + 0 + C)e^0 = C = 1$$
$$\boxed{g(x) = (x^2 + 3x + 1)e^{-x}}$$
Vérification de cohérence avec la Partie A : $g(0) = 1$ (conforme à la lecture sur $\mathcal{C}_1$) et $g'(0) = (-x^2 - x + 3 - 1)e^{-x}\big|_{x=0} = (-0 - 0 + 3 - 1) \times 1 = 2$ (conforme à $\mathcal{C}_2$). Tout est cohérent.
Question 5. Pour quelle(s) valeur(s) de $C$ la courbe de $(x^2 + 3x + C)e^{-x}$ présente-t-elle deux points d'inflexion ?
Notons $h_C(x) = (x^2 + 3x + C)e^{-x}$.
On calcule $h_C''(x)$ :
Première dérivée :
$$h_C'(x) = (2x + 3)e^{-x} - (x^2 + 3x + C)e^{-x} = \bigl[-(x^2 + x) + 3 - C\bigr]e^{-x} = (-x^2 - x + 3 - C)e^{-x}$$
Deuxième dérivée :
$$h_C''(x) = (-2x - 1)e^{-x} - (-x^2 - x + 3 - C)e^{-x} = \bigl[(-2x - 1) + (x^2 + x - 3 + C)\bigr]e^{-x}$$
$$h_C''(x) = (x^2 - x - 4 + C)e^{-x}$$
Les points d'inflexion sont aux zéros de $h_C''$, c'est-à-dire aux solutions de :
$$x^2 - x - 4 + C = 0$$
Il s'agit d'une équation du second degré en $x$. Elle admet deux solutions distinctes si et seulement si son discriminant est strictement positif :
$$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-4 + C) = 1 + 16 - 4C = 17 - 4C > 0$$
$$\iff C < \frac{17}{4}$$
$$\boxed{h_C \text{ présente deux points d'inflexion distincts si et seulement si } C < \frac{17}{4}}$$
On remarque que $f(x) = h_C(x)$ avec $C = 2$, c'est-à-dire $f(x) = (x^2 + 3x + 2)e^{-x}$.
On peut factoriser : $f(x) = (x+1)(x+2)e^{-x}$.
Question 1. Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
Par le théorème des croissances comparées, $\lim_{x \to +\infty} x^k e^{-x} = 0$ pour tout $k \in \mathbb{N}$. Donc :
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x^2 + 3x + 2)e^{-x} = 0$$
$$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0}$$
La droite d'équation $y = 0$ (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.
Question 2a. Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = (-x^2 - x + 1)e^{-x}$.
On dérive par la règle du produit :
$$f'(x) = (x^2 + 3x + 2)'e^{-x} + (x^2 + 3x + 2)(e^{-x})'$$
$$= (2x + 3)e^{-x} - (x^2 + 3x + 2)e^{-x}$$
$$= \bigl[(2x + 3) - (x^2 + 3x + 2)\bigr]e^{-x}$$
$$= (-x^2 - x + 1)e^{-x}$$
$$\boxed{f'(x) = (-x^2 - x + 1)e^{-x}}$$
Question 2b. Dresser le tableau de variations de $f$.
On étudie le signe de $f'(x) = (-x^2 - x + 1)e^{-x}$. Comme $e^{-x} > 0$ pour tout $x$, le signe de $f'$ est celui de $-x^2 - x + 1$.
On résout $-x^2 - x + 1 = 0$, soit $x^2 + x - 1 = 0$ :
$$\Delta = 1 + 4 = 5 \implies x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$$
- $x_1 = \dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1{,}618$
- $x_2 = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0{,}618$
Comme le coefficient de $x^2$ dans $-x^2 - x + 1$ est négatif, le trinôme est positif entre les racines :
| Intervalle | $f'(x)$ | $f$ | |------------|---------|-----| | $x < x_1$ | $-$ | décroissante | | $x = x_1$ | $0$ | minimum local | | $x_1 < x < x_2$ | $+$ | croissante | | $x = x_2$ | $0$ | maximum local | | $x > x_2$ | $-$ | décroissante |
Valeurs remarquables :
$$f(x_1) = \left(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}+1\right)\left(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}+2\right)e^{-x_1} = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3-\sqrt{5}}{2} \cdot e^{-x_1}$$
$$f(x_2) = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3+\sqrt{5}}{2} \cdot e^{-x_2}$$
Question 3. Montrer que $f(x) \geq 0$ pour tout $x \in [0\,;\,+\infty[$.
Pour $x \geq 0$, on a $x + 1 \geq 1 > 0$ et $x + 2 \geq 2 > 0$. De plus, $e^{-x} > 0$. Donc :
$$f(x) = \underbrace{(x+1)}_{>0} \cdot \underbrace{(x+2)}_{>0} \cdot \underbrace{e^{-x}}_{>0} \geq 0$$
$$\boxed{f(x) \geq 0 \text{ pour tout } x \in [0\,;\,+\infty[}$$
Question 4. Calculer l'aire $A(\alpha) = \displaystyle\int_0^\alpha f(x)\,\mathrm{d}x$ pour $\alpha > 0$.
On cherche une primitive $F$ de $f(x) = (x^2 + 3x + 2)e^{-x}$.
On utilise une intégration par parties successive. On sait que si $G(x) = -(ax^2 + bx + c)e^{-x}$, alors :
$$G'(x) = -(2ax + b)e^{-x} + (ax^2 + bx + c)e^{-x} = (ax^2 + (b-2a)x + (c-b))e^{-x}$$
On cherche $a$, $b$, $c$ tels que $G'(x) = (x^2 + 3x + 2)e^{-x}$ :
$$\begin{cases} a = 1 \\ b - 2a = 3 \implies b = 5 \\ c - b = 2 \implies c = 7 \end{cases}$$
Donc $F(x) = -(x^2 + 5x + 7)e^{-x}$ est une primitive de $f$.
Vérification :
$$F'(x) = -(2x+5)e^{-x} + (x^2+5x+7)e^{-x} = \bigl[-(2x+5) + (x^2+5x+7)\bigr]e^{-x} = (x^2 + 3x + 2)e^{-x} = f(x) \checkmark$$
Calcul de $A(\alpha)$ :
$$A(\alpha) = \int_0^\alpha f(x)\,\mathrm{d}x = \bigl[F(x)\bigr]_0^\alpha = F(\alpha) - F(0)$$
$$F(0) = -(0 + 0 + 7)e^0 = -7$$
$$A(\alpha) = -(\alpha^2 + 5\alpha + 7)e^{-\alpha} - (-7) = 7 - (\alpha^2 + 5\alpha + 7)e^{-\alpha}$$
$$\boxed{A(\alpha) = 7 - (\alpha^2 + 5\alpha + 7)e^{-\alpha}}$$
Vérification de cohérence : Quand $\alpha \to +\infty$, $(\alpha^2 + 5\alpha + 7)e^{-\alpha} \to 0$ (croissances comparées), donc $A(\alpha) \to 7$. L'aire totale sous $\mathcal{C}_f$ sur $[0\,;\,+\infty[$ est $7$ unités d'aire.