Thème : Suites — Suite récurrente, suite auxiliaire géométrique, convergence
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \dfrac{2u_n + 1}{u_n + 2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
On pose $a_n = \dfrac{u_n}{u_n - 1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Question 1. Calculer $u_1$.
$$u_1 = \frac{2u_0 + 1}{u_0 + 2} = \frac{2 \times 2 + 1}{2 + 2} = \frac{5}{4}$$
$$\boxed{u_1 = \frac{5}{4}}$$
Question 2a. Calculer $a_0$ et $a_1$.
$$a_0 = \frac{u_0}{u_0 - 1} = \frac{2}{2 - 1} = \frac{2}{1} = 2$$
$$a_1 = \frac{u_1}{u_1 - 1} = \frac{5/4}{5/4 - 1} = \frac{5/4}{1/4} = 5$$
$$\boxed{a_0 = 2 \quad \text{et} \quad a_1 = 5}$$
Question 2b. Montrer que $a_{n+1} = 3a_n - 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
On calcule $a_{n+1}$ en substituant l'expression de $u_{n+1}$ :
$$a_{n+1} = \frac{u_{n+1}}{u_{n+1} - 1} = \frac{\dfrac{2u_n + 1}{u_n + 2}}{\dfrac{2u_n + 1}{u_n + 2} - 1}$$
On simplifie le dénominateur :
$$\frac{2u_n + 1}{u_n + 2} - 1 = \frac{2u_n + 1 - (u_n + 2)}{u_n + 2} = \frac{u_n - 1}{u_n + 2}$$
Donc :
$$a_{n+1} = \frac{\dfrac{2u_n + 1}{u_n + 2}}{\dfrac{u_n - 1}{u_n + 2}} = \frac{2u_n + 1}{u_n - 1}$$
D'autre part, calculons $3a_n - 1$ :
$$3a_n - 1 = 3 \cdot \frac{u_n}{u_n - 1} - 1 = \frac{3u_n - (u_n - 1)}{u_n - 1} = \frac{3u_n - u_n + 1}{u_n - 1} = \frac{2u_n + 1}{u_n - 1}$$
On obtient bien :
$$\boxed{a_{n+1} = \frac{2u_n + 1}{u_n - 1} = 3a_n - 1}$$
Question 2c. Montrer par récurrence que $a_n \geq 3n - 1$ pour tout $n \geq 1$.
Initialisation : Pour $n = 1$, $a_1 = 5$ et $3 \times 1 - 1 = 2$. Comme $5 \geq 2$, la propriété est vraie au rang $n = 1$.
Hérédité : Supposons que $a_n \geq 3n - 1$ pour un certain $n \geq 1$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $a_{n+1} \geq 3(n+1) - 1 = 3n + 2$.
D'après la relation établie en 2b :
$$a_{n+1} = 3a_n - 1$$
Par hypothèse de récurrence, $a_n \geq 3n - 1$, donc :
$$a_{n+1} = 3a_n - 1 \geq 3(3n - 1) - 1 = 9n - 3 - 1 = 9n - 4$$
Il suffit de vérifier que $9n - 4 \geq 3n + 2$, ce qui équivaut à :
$$6n \geq 6 \iff n \geq 1$$
Cette inégalité est vérifiée pour tout $n \geq 1$.
Conclusion : Par le principe de récurrence, $a_n \geq 3n - 1$ pour tout $n \geq 1$.
Question 2d. Déterminer la limite de $(a_n)$.
D'après la question 2c, pour tout $n \geq 1$ :
$$a_n \geq 3n - 1$$
Or $\lim_{n \to +\infty} (3n - 1) = +\infty$, donc par le théorème des gendarmes (minorant tendant vers $+\infty$) :
$$\boxed{\lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty}$$
Question 3a. Exprimer $u_n$ en fonction de $a_n$.
On part de la définition $a_n = \dfrac{u_n}{u_n - 1}$ et on résout en $u_n$ :
$$a_n (u_n - 1) = u_n$$
$$a_n \cdot u_n - a_n = u_n$$
$$a_n \cdot u_n - u_n = a_n$$
$$u_n (a_n - 1) = a_n$$
$$\boxed{u_n = \frac{a_n}{a_n - 1}}$$
Cette expression est bien définie pour tout $n \geq 1$ car $a_n \geq 3n - 1 \geq 2 > 1$.
Question 3b. Déterminer la limite de $(u_n)$.
On réécrit $u_n$ en faisant apparaître $\dfrac{1}{a_n}$ :
$$u_n = \frac{a_n}{a_n - 1} = \frac{1}{1 - \dfrac{1}{a_n}}$$
D'après la question 2d, $a_n \to +\infty$, donc $\dfrac{1}{a_n} \to 0$.
Par continuité des opérations algébriques :
$$\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{1}{1 - 0} = 1$$
$$\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = 1}$$
Question 4. Analyse de l'algorithme Python.
L'algorithme considéré est du type :
def algo(p):
n = 1
u = 5/4 # valeur de u_1
while u - 1 > p:
u = (2*u + 1) / (u + 2)
n = n + 1
return n, uInterprétation : La fonction algo(p) retourne le premier rang $n$ à partir duquel $u_n - 1 \leq p$, ainsi que la valeur correspondante $u_n$.
Pour $p = 0{,}001$ : On utilise la formule $u_n = \dfrac{a_n}{a_n - 1}$ pour calculer $u_n - 1 = \dfrac{1}{a_n - 1}$.
Calculons les premières valeurs de la suite :
| $n$ | $u_n$ | $u_n - 1$ | |-----|--------|-----------| | 0 | 2 | 1 | | 1 | $5/4 = 1{,}250$ | 0,250 | | 2 | $\frac{2 \times 5/4 + 1}{5/4 + 2} = \frac{7/2}{13/4} = \frac{14}{13} \approx 1{,}0769$ | 0,0769 | | 3 | $\frac{2 \times 14/13 + 1}{14/13 + 2} = \frac{41/13}{40/13} = \frac{41}{40} = 1{,}025$ | 0,025 | | 4 | $\frac{2 \times 41/40 + 1}{41/40 + 2} = \frac{122/40}{121/40} = \frac{122}{121} \approx 1{,}00826$ | 0,00826 | | 5 | $\frac{2 \times 122/121 + 1}{122/121 + 2} = \frac{365/121}{364/121} = \frac{365}{364} \approx 1{,}00275$ | 0,00275 | | 6 | $\frac{2 \times 365/364 + 1}{365/364 + 2} = \frac{1094/364}{1093/364} = \frac{1094}{1093} \approx 1{,}000915$ | 0,000915 |
Au rang $n = 6$, on a $u_6 - 1 \approx 0{,}000915 < 0{,}001$.
La fonction algo(0.001) renvoie $(6,\; 1094/1093)$.
L'algorithme calcule donc le rang à partir duquel la suite $u_n$ est dans un voisinage de $1$ de rayon $p$. Pour $p = 0{,}001$, il faut $n = 6$ itérations.