Thème : Probabilités — Probabilités conditionnelles, loi binomiale, inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Question 1. Compléter l'arbre pondéré.
L'arbre des probabilités se construit avec les données de l'énoncé :
- Le serveur A est choisi avec probabilité $P(A) = 0{,}25$, le serveur B avec $P(B) = 0{,}15$, le serveur C avec $P(C) = 1 - 0{,}25 - 0{,}15 = 0{,}60$.
- Les probabilités conditionnelles de stabilité sont : $P_{A}(S) = 0{,}90$, $P_{B}(S) = 0{,}80$, $P_{C}(S) = 0{,}85$.
- Par complémentarité : $P_{A}(\bar{S}) = 0{,}10$, $P_{B}(\bar{S}) = 0{,}20$, $P_{C}(\bar{S}) = 0{,}15$.
L'arbre pondéré complet est donc :
$$ \begin{array}{ll} A \ (0{,}25) & \begin{cases} S \quad (0{,}90) \\ \bar{S} \quad (0{,}10) \end{cases} \\[6pt] B \ (0{,}15) & \begin{cases} S \quad (0{,}80) \\ \bar{S} \quad (0{,}20) \end{cases} \\[6pt] C \ (0{,}60) & \begin{cases} S \quad (0{,}85) \\ \bar{S} \quad (0{,}15) \end{cases} \end{array} $$
Question 2. Calculer $P(B \cap S)$.
Par définition de la probabilité conditionnelle :
$$P(B \cap S) = P(B) \times P_{B}(S) = 0{,}15 \times 0{,}80 = \mathbf{0{,}12}$$
Question 3. Calculer $P(C \cap \bar{S})$ et interpréter.
$$P(C \cap \bar{S}) = P(C) \times P_{C}(\bar{S}) = 0{,}60 \times 0{,}15 = \mathbf{0{,}09}$$
Interprétation : En choisissant une connexion au hasard, il y a $9\,\%$ de chances que celle-ci passe par le serveur C et soit instable. Autrement dit, $9\,\%$ des connexions sont à la fois routées par C et présentent une instabilité.
Question 4. Démontrer que $P(S) = 0{,}855$.
Les événements $A$, $B$ et $C$ forment une partition de l'univers (ils sont deux à deux incompatibles et leur réunion est l'univers entier). On applique la formule des probabilités totales :
$$P(S) = P(A) \cdot P_{A}(S) + P(B) \cdot P_{B}(S) + P(C) \cdot P_{C}(S)$$
On substitue les valeurs numériques :
$$P(S) = 0{,}25 \times 0{,}90 + 0{,}15 \times 0{,}80 + 0{,}60 \times 0{,}85$$
$$P(S) = 0{,}225 + 0{,}120 + 0{,}510$$
$$\boxed{P(S) = 0{,}855}$$
Question 5. Calculer $P_{S}(B)$.
On applique la formule de Bayes :
$$P_{S}(B) = \frac{P(B \cap S)}{P(S)} = \frac{0{,}12}{0{,}855}$$
On effectue la division :
$$P_{S}(B) = \frac{0{,}12}{0{,}855} \approx \mathbf{0{,}140}$$
Conclusion : Sachant qu'une connexion est stable, la probabilité qu'elle ait transité par le serveur B est d'environ $14{,}0\,\%$.
On note $p$ la probabilité qu'une connexion soit instable :
$$p = P(\bar{S}) = 1 - P(S) = 1 - 0{,}855 = 0{,}145$$
Question 1a. Loi suivie par $X$.
On observe $n = 50$ connexions choisies indépendamment. Chaque connexion est instable avec probabilité $p = 0{,}145$, stable avec probabilité $1 - p = 0{,}855$, indépendamment des autres. On est dans le cadre d'un schéma de Bernoulli à $n = 50$ épreuves avec paramètre $p = 0{,}145$.
$$\boxed{X \sim \mathcal{B}(50\,;\, 0{,}145)}$$
Question 1b. Calculer $P(X \leq 8)$.
On utilise la loi binomiale $\mathcal{B}(50\,;\,0{,}145)$. La probabilité s'écrit :
$$P(X \leq 8) = \sum_{k=0}^{8} \binom{50}{k} (0{,}145)^k (0{,}855)^{50-k}$$
Le calcul numérique (à la calculatrice ou par table) donne :
$$\boxed{P(X \leq 8) \approx 0{,}889}$$
Il y a donc environ $88{,}9\,\%$ de chances d'observer au plus $8$ connexions instables sur $50$.
Question 2a. Exprimer $p_n = P(X_n \geq 1)$ en fonction de $n$.
$X_n$ désigne le nombre de connexions instables sur $n$ connexions, $X_n \sim \mathcal{B}(n\,;\, 0{,}145)$.
$$p_n = P(X_n \geq 1) = 1 - P(X_n = 0) = 1 - \binom{n}{0}(0{,}145)^0(0{,}855)^n$$
$$\boxed{p_n = 1 - (0{,}855)^n}$$
Question 2b. Trouver le plus petit entier $n$ tel que $p_n \geq 0{,}99$.
On résout l'inégalité :
$$1 - (0{,}855)^n \geq 0{,}99$$
$$\iff (0{,}855)^n \leq 0{,}01$$
On prend le logarithme (la fonction logarithme est croissante, et $\ln(0{,}855) < 0$ donc l'inégalité change de sens) :
$$n \cdot \ln(0{,}855) \leq \ln(0{,}01)$$
$$n \geq \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}855)} = \frac{-4{,}6052}{-0{,}1567} \approx 29{,}38...$$
Wait, recalculons précisément :
$$\ln(0{,}01) = \ln(10^{-2}) = -2\ln(10) \approx -4{,}60517$$
$$\ln(0{,}855) \approx -0{,}15664$$
$$\frac{-4{,}60517}{-0{,}15664} \approx 29{,}40$$
Donc $n \geq 29{,}40$, soit $n_{\min} = 30$. Vérifions :
- $n = 29$ : $(0{,}855)^{29} \approx e^{29 \times (-0{,}15664)} \approx e^{-4{,}542} \approx 0{,}01065 > 0{,}01$ — condition non satisfaite.
- $n = 30$ : $(0{,}855)^{30} \approx e^{-4{,}699} \approx 0{,}00910 < 0{,}01$ — condition satisfaite.
$$\boxed{n_{\min} = 30}$$
Question 3a. Calculer $E(F_n)$.
$F_n = \dfrac{X_n}{n}$ est la fréquence d'instabilité observée sur $n$ connexions, avec $X_n \sim \mathcal{B}(n\,;\,0{,}145)$.
Par linéarité de l'espérance et la formule de l'espérance d'une loi binomiale $E(X_n) = np$ :
$$E(F_n) = E\!\left(\frac{X_n}{n}\right) = \frac{1}{n} E(X_n) = \frac{1}{n} \times n \times 0{,}145$$
$$\boxed{E(F_n) = 0{,}145}$$
$F_n$ est donc un estimateur non biaisé de $p = 0{,}145$.
Question 3b. Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
La variance d'une loi binomiale est $V(X_n) = np(1-p) = n \times 0{,}145 \times 0{,}855 = 0{,}123975n$.
Donc :
$$V(F_n) = V\!\left(\frac{X_n}{n}\right) = \frac{1}{n^2} V(X_n) = \frac{0{,}123975n}{n^2} = \frac{0{,}123975}{n}$$
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev stipule que pour tout $\varepsilon > 0$ :
$$P\!\left(\left|F_n - E(F_n)\right| \geq \varepsilon\right) \leq \frac{V(F_n)}{\varepsilon^2}$$
Avec $\varepsilon = 0{,}1$ :
$$P\!\left(\left|F_n - 0{,}145\right| \geq 0{,}1\right) \leq \frac{0{,}123975/n}{(0{,}1)^2} = \frac{0{,}123975}{0{,}01 \cdot n} = \frac{12{,}3975}{n}$$
$$\boxed{P\!\left(\left|F_n - 0{,}145\right| \geq 0{,}1\right) \leq \frac{12{,}4}{n} \text{ (environ)}}$$
Question 3c. Analyser la conclusion du technicien pour $n = 1000$, $F_{1000} = 0{,}30$.
On calcule d'abord l'écart entre la fréquence observée et la valeur théorique :
$$|F_{1000} - 0{,}145| = |0{,}30 - 0{,}145| = 0{,}155 > 0{,}1$$
On applique Bienaymé-Tchebychev avec $\varepsilon = 0{,}155$ et $n = 1000$ :
$$P\!\left(\left|F_{1000} - 0{,}145\right| \geq 0{,}155\right) \leq \frac{V(F_{1000})}{(0{,}155)^2} = \frac{0{,}123975/1000}{0{,}024025} \approx \frac{1{,}240 \times 10^{-4}}{2{,}403 \times 10^{-2}} \approx 0{,}00516$$
La probabilité d'observer un tel écart est donc inférieure à $0{,}52\,\%$ — un événement très improbable si le réseau fonctionne normalement.
On peut aussi utiliser le majorant moins fin avec $\varepsilon = 0{,}1$ (qui couvre aussi $\varepsilon = 0{,}155$) :
$$P\!\left(\left|F_{1000} - 0{,}145\right| \geq 0{,}1\right) \leq \frac{12{,}4}{1000} = 0{,}0124 \approx 1{,}24\,\%$$
Conclusion : La fréquence $F_{1000} = 0{,}30$ s'écarte de $0{,}155$ de la valeur attendue $0{,}145$. D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, un tel écart n'a qu'une probabilité inférieure à $1{,}25\,\%$ de se produire si le réseau est normal. Le technicien a donc raison : une fréquence d'instabilité de $30\,\%$ est statistiquement anormale et laisse fortement supposer un dysfonctionnement du réseau.